Bonjour !
1.
a)
1/2 ≤ a ≤ 2/3
-3 ≤ b ≤ -2
Donc :
1/2 + (-3) ≤ a + b ≤ 2/3 + (-2)
<=> -5/2 ≤ a + b ≤ -4/3
Jusque là, c'est simple.
Mais pour a*b, c'est plus compliqué : en effet, on multiplie par des négatifs, donc il faut faire attention à nos calculs.
Pour ne pas se perdre, on va faire par étape :
- Quelle est la plus petite valeur que l'on peut avoir en multipliant a par b ?
Pour cela, on prend la plus grande valeur de a et la plus petite valeur de b. Étrange, non ? Mais si on réfléchit, a est forcément positif et b forcément négatif. Leur produit sera donc forcément négatif. Si on veut avoir le plus petit résultat, on prend la valeur la plus petite de b, donc -3. Si on multiplie cette valeur par la plus petite valeur de a, 1/2, on obtient (-3)*(1/2) -3/2. Mais si on prend la plus grande valeur de a, 2/3, alors le produit de a par b donne (-3)*(2/3) = -2. C'est plus petit que -3/2 !
En effet : si le résultat est forcément négatif, autant prendre les valeurs les plus grandes possibles , ça va nous donner un résultat de plus en plus petit.
- Quelle est la plus petite valeur que l'on peut avoir en multipliant a par b ?
Logiquement, c'est le produit de la plus grande valeur de b par la plus petite valeur de a.
Donc :
(2/3) * (-3) ≤ a*b ≤ (1/2) * (-2)
<=> -2 ≤ ab ≤ -1
b)
-5/2 ≤ a + b ≤ -4/3
<=> 3(-5/2) ≤ 3(a + b) ≤ 3(-4/3)
<=> -7.5 ≤ 3(a + b) ≤ -4
-2 ≤ ab ≤ -1
<=> -4 ≤ ab - 2 ≤ -3
Donc :
-7.5 ≤ 3(a + b) ≤ -4 ≤ ab - 2 ≤ -3
<=> 3(a + b) ≤ ab - 2
2)
-3 ≤ b ≤ -2
Donc :
2 ≤ -b ≤ 3
<=> 1/2 + 2 ≤ a + (-b) ≤ 2/3 + 3
<=> 5/2 ≤ a - b ≤ 11/3
-3 ≤ b ≤ -2
<=> 1 ≤ 4+b ≤ 2
<=> (1/2) * (1) ≤ a(4+b) ≤ (2/3) * (2)
<=> 1/2 ≤ a(4+b) ≤ 4/3
Voilà !
