Réponse :
ex4
1) démontrer que 2 q² = p² et en déduire que p² est pair
on suppose que √2 est rationnel donc √2 = p/q ⇔ (√2)² = (p/q)²
⇔ 2 = p²/q² ⇔ p² = 2 q² donc p² est pair
2) démontrer que p est pair
puisque p² est pair donc p est forcément pair donc il existe un nombre p' tel que p = 2 p'
3) puisque p est pair donc il existe un nombre p' tel que p = 2 p'
donc p² = 4 p'² or p² = 2 q² donc 2 q² = 4 p'² donc q² = 2 p'²
donc q est pair donc il existe un nombre q' tel que q = 2 q'
donc la fraction p/q = 2 p'/2 q' n'est pas irréductible
4) conclure
puisque la fraction p/q = 2 p'/2 q' n'est pas irréductible, ce qui contredit l'hypothèse de départ qui était que √2 est rationnel
en conclusion donc √2 est irrationnel
Explications étape par étape
