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P(z) = z⁴ - 2z³ - 2z - 1
1)
i est une racine de P(z) si et seulement si p(i) = 0
on remplace z par i
i ; i² = - 1 ; i³ = - i ; i⁴ = 1
(compte tenu de ces résultats on calcule normalement)
P(i) = 1 - 2(-i) -2i - 1 = 1 + 2i - 2i - 1 = 0
réponse : i est une racine de P(z)
2)
1 + i ?
(1 + i)² = 1 + 2i + i² = 1 + 2i - 1 = 2i
(1 + i)³ = 2i(1 + i) = 2i + 2i² = 2i - 2
(1 + i)⁴ = [(1 + i)²]² = (2i)² = 2² i² = - 4
P(1 + i) = - 4 - 2(2i - 2) - 2(1 + i) - 1 =
- 4 - 4i + 4 - 2 - 2i - 1 =
- 6i - 3
P(1 + i) n'est pas nul
1 + i n'est pas une racine
3)
(1 - i)/(1 + i) on multiplie les deux termes par le conjugué du dénominateur
(1 - i) / (1 + i) = (1 - i)² / (1 + i)(1 - i) =
(1 - 2i + i²) / (1 - i²) =
(1 - 2i - 1) / (1 + 1) =
-2i /2 =
-i
on calcule (-i)² ; (-i)³ ; (-i)⁴ et on remplace dans le polynôme
4)
(3 - i) / (1 + 3i) = (3 - i)(1 - 3i) / (1 + 3i)(1 - 3i)
= (3 -9i - i + 3i²) / [1 - (3i)²]
= (3 - 10i - 3)/ (1 - 9i²)
= - 10i / (1 + 9)
= - 10i / 10
= - i (déjà étudié)
