Réponse :
Bonjour,
Explications étape par étape
Exo 85 :
1)
f(x) n'est pas définie pour x+1=0 soit x=-1.
lim -5/(x+1)=+inf car numé et déno tous deux < 0.
x--->-1
x < -1
Donc :
lim f(x)=+inf quand x tend vers -1 avec x < -1.
lim -5/(x+1)=-inf car numé <0 et déno > 0
x--->-1
x > -1
Donc :
lim f(x)=-inf quand x tend vers -1 avec x > -1.
La droite x=-1 est asymptote verticale à Cf.
f(x)-3=- 5/(x+1)
lim -5/(x+1)=0
x---->+ ou -inf
Donc :
lim f(x)-3=0
x-->+ ou -inf
lim f(x)=3
x--->+ ou -inf
La droite y=3 est donc asymptote horizontale en -inf et +inf à Cf.
Position de Cf par rapport à cette asymptote :
Il faut le signe de :
f(x)-3=-5/(x+1)
Si x+1 < 0 soit x < -1, alors : -5/(x+1) > 0 car numé et déno tous deux < 0.
Donc sur ]-inf;-1[ , f(x)-3 > 0 . Donc f(x) > 3 .
Donc sur ]-inf;-1[ , Cf est au-dessus de son asymptote horizontale.
Et :
Sur ]-1;+inf[ , Cf est au-dessous de son asymptote horizontale.
2)
La dérivée de 1/u est : -u'/u².
Ici : u=x+1 donc u '=1
f '(x)=5/(x+1)² qui est toujours positive sur Df.
Tu fais un tableau de variation avec f(x) toujours croissante , etc.
3)
Graph joint.
Exo 86 :
1)
Il faut vérifier que le déno ne s'annule pas donc que :
x²-2x+5 =0
n'a pas de solution.
Δ=b²-4ac=(-2)²-4*1*5=-16 < 0.
Pas de racines.
Donc f(x) définie sur IR.
2)
f(x)-(-3)=-3x²/(x²-2x+5)-(-3)=-3x²/(x²-2x+5) + 3
f(x)-(-3)=[-3x²+3(x²-2x+5)] / (x²-2x+5)
f(x)-(-3)=(-6x+15) / (x²-2x+5)
lim f(x)-(-3)=lim (-6x/x²)=lim (-6/x)=0
x---> -inf ou +inf
Qui prouve que la droite y=-3 est asymptote à Cf en -inf et +inf.
Position de Cf par rapport à y=-3 :
f(x)-(-3)=(-6x+15)/(x²-2x+5)
On a vu que : x²-2x+5 n'a pas de racines donc est toujours > 0 car le coeff de x² est > 0.
Donc f(x)-(-3) est du signe de -6x+15.
Si -6x+15 > 0 soit: -6x > -15 soit x < 15/6 , soit x < 5/2 , alors f(x)-(-3) > 0 qui donne:
f(x) > -3
(Quand on divise par "-6" , on change > en < . OK ? )
Donc : ]-inf;5/2] , Cf au-dessus de y=-3.
Et sur : [5/2;+inf [ : Cf au-dessous de y=-3.
3)
f(x) est de la forme u/v.
u=-3x² donc u '=-6x
v=x²-2x+5 donc v '=2x-2
f '(x)=[-6x(x²-2x+5)+3x²(2x-2)] /(x²-2x+5)²
Tu développes le numé et tu trouves à la fin :
f '(x)=6x(x-5) / (x²-2x+5)²
f '(x) est donc du signe de 6x(x-5) , binôme du second degré qui est < 0 entre ses racines( car le coeff de x² > 0) , racines qui qui sont x=0 et x=5.
Tableau :
x----->-inf......................0.............................5..........................+inf
f '(x)--->..............+..........0...........-................0.............+.............
f(x)---->-3+.........C...........0.........D...........-3.75........C...........-3-
C=flèche qui monte.
D=flèche qui descend.
Voir graph
