bjr
a) on remplace x par -2 dans P(x)
P(-2) = 16*(-2)³ + 16*(-2)² - 29*(-2) + 6
= -16*8 + 16*2 + 29*2 + 6 = 0
puisque P(-2) est nul, -2 est une solution du polynôme
et on peut mettre (x + 2) en facteur.
P(x) = (x + 2)(ax² + bx + c)
pour calculer a, b et c on peut faire la division de P(x) par (x + 2)
16x³ + 16x² - 29x + 6 |_x + 2_________
- ( 16x³ + 32x²) 16x² - 16x + 3
___________
0x³ - 16x² - 29x
- ( - 16x² - 32x)
________________
3x + 6
- (3x + 6)
0
P(x) = (x + 2)(16x² - 16x + 3)
il reste à factoriser (16x² - 16x + 3)
ce trinôme a pour discriminant Δ = (-16)² - 4*16*3
= 256 - 192 = 64 = 8²
il est positif, il a deux racines
x1 = (16 - 8)/2*16 = 1/4 et x2 = (16 + 8)/2*16 = 3/4
d'où
16x² - 16x + 3 = 16(x - 1/4)(x - 3/4
P(x) = 16(x + 2)(x - 1/4)(x - 3/4)
ou encore en multipliant chacun des deux derniers facteurs par 4
P(x) = (x + 2)(4x - 1)(4x - 3)
b)
P(x) = 0
(x + 2)(4x - 1)(4x - 3) = 0 équation produit
un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteur est nul
(x + 2)(4x - 1)(4x - 3) = si et seulement si
x + 2 = 0 ou 4x - 1 = 0 ou 4x - 3 = 0
x = -2 ou x = 1/4 ou x = 3/4
Cette équation a 3 solutions
S = {-2 ; 1/4 ; 3/4}
c)
P(x) < 0
(x + 2)(4x - 1)(4x - 3) < 0
le premier membre est factorisé, on fait un tableau des signes
x -2 1/4 3/4
x+2 - 0 + + +
4x-1 - - 0 + +
4x-3 - - - 0 +
p(x) - 0 + 0 - 0 +
////////////// ///////////////
S = ] -∞ ; -2[ U ]1/4 ; 3/4[
d)
P(x) / (1 - x²) ≥ 0
1 - x² = (1 - x)(1 + x)
s'annule pour 1 et -1
un quotient n'est pas défini lorsque son dénominateur est nul
ensemble de définition D = R - {-1 ; 1}
on complète le tableau des signes de P(x) avec
les signes de (1 - x) et (1 + x)
x -2 -1 1/4 3/4 1
P(x) - + + - + +
1 - x + + + + + 0 -
1 + x - - 0 + + + 0 +
Q(x) + 0 - || + 0 - 0 + || -
////////// ////////// ///////////////////
S = ] -∞ ; -2] U ]-1 ; 1/4] U [3/4 ; 1[
e)
on pose x² = X
l'équation en X est la même que P(x)
on connaît les solutions
d'où x² = -2 pas de solution en x
il reste à résoudre
x² = 1/4 et x² = 3/4
