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SPIFLICKGO
résolu

Bonjour, je dois rendre un DM mais je n'arrive pas à placer le point I merci.

ABC est un triangle. J le milieu de [AC] et I le point tel que 2IB=IC.

1) Exprimer en fonction des vecteurs AB et AC le vecteur AI et le vecteur BJ.
2) Démontrer que AI = 2 AB - AC.
3) Que peut-on en déduire ?

Répondre :

tu dois  placer le point I de façon a ce qu'il soit au milieu de de BC comme pour AC car il faut que IB soit égale a IC donc ca peut être  que le milieu du segment

Réponse :

Bonsoir,

Explications étape par étape

Dans le raisonnement ci-dessous, tous les segments sont des vecteurs (avec la flèche au dessus)

J est le milieu de AC : AJ =JC= AC / 2

2IB = IC  

or IC = IB + BC                     (théorème de Chasles)

donc 2IB = IB + BC

faire passer le IB du second membre au premier : 2IB - IB = BC

IB = BC

B est le milieu de IC

AI = AB + BI                          (théorème de Chasles)

AI = AB - IB                            (car BI = - IB)

AI = AB - BC                           (car IB = BC)

BC = BA + AC                        (théorème de Chasles)

BC = AC - AB                          (car BA = - AB)

remplacer cette valeur de BC dans AI = AB - BC

AI = AB - ( AC - AB ) = AB - AC + AB = 2AB - AC

AI = 2AB - AC                        (I)

BJ = BC + CJ                         (théorème de Chasles)

BJ = BC + CA / 2

BJ = BC - AC / 2                    (car CA = - AC)

BJ =  AC - AB - AC / 2           (car BC = AB - AC, voir ci dessus)

BJ = AC / 2 - AB                     (II)

si on compare les expressions (I) et (II), BJ = - AI / 2

les vecteurs BJ et AI étant proportionnels, AI et BJ sont parallèles

Voir l'image MAVAN
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