Réponse :
Bonsoir,
Explications étape par étape
Dans le raisonnement qui suit, tous les segments sont des vecteurs (flèches au dessus)
MN = MA + AN (théorème de Chasles)
MN = -AM + AN ( MA = - AN )
MN = - (1/3) AB + AN
MN = - (1/3) AB + AC + CN (AN = AC + CN théorème de Chasles)
MN = - (1/3) AB + AC + (1/3) CA
MN = - (1/3) AB + AC - (1/3) AC
MN = - (1/3) AB + (2/3) AC (expression 1)
MP = MA + AP (théorème de Chasles)
MP = - AM + AP
MP = - (1/3) AB + AP
MP = - (1/3) AB + AC + CP (AP = AC + CP théorème de Chasles)
MP = - (1/3) AB + AC + (1/3) BC
MP = - (1/3) AB + AC + (1/3) ( BA + AC) (BC = BA + AC théorème de Chasles)
MP = - (1/3) AB + AC + (1/3) BA + (1/3) AC
MP = - (1/3) AB + AC - (1/3) AB + (1/3) AC
MP = -(2/3) AB + (4/3) AC (expression 2)
En comparant (1) et (2), on obtient : MP = 2 MN
Les vecteurs MN et MP sont proportionnels, doc parallèles
En outre, ils ont un point commun (M), ils sont donc colinéaires.
Dès lors les points M, N et P sont alignés.
Voir figure en annexe.
