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JULIADU5757GO
résolu

Bonjour je suis en terminale S et j'aurai besoin de votre aide pour un petit DM en mathématiques, merci d'avance !
Exercice 1 :
Soit f(x) = [tex]x^{2} e^{-x}[/tex]
C'est la courbe représentative de f dans un repère (O;i;j)
La courbe admet-elle des tangentes passant par l'origine O du repère ?
( j'ai deja calculée la dérivée de cette fonction qui est : [tex]e^{-x} (2x-x^{2} )[/tex] , mais après je ne sais pas comment faire)...

Répondre :

NEPENTHESGO

Réponse :

Bien pour le calcul de la fonction dérivée.

Une tangente au point d'abscisse a a pour équation :

y = f'(a)(x-a)+ f(a). Donc si la tangente passe par l'origine, on devra avoir af'(a) + f(a) = 0.

Soit : ae^-a (2a-a²) + a²e^-a = 0 soit en simplifiant par e^-a, a(2a-a²) +a² = 0

Donc soit a² = 0 soit 2-a+1 = 0 et a = 3.

Les tangentes aux points d'abscisse 0 et 3 passent par l'origine (je te laisse les tracer pour t'en convaincre).

Explications étape par étape

Réponse :

soit a un nombre réel

l'équation de la tangente à Cf au point d'abscisse a est:

y = f(a) + f '(a)(x - a)

f(a) = a²e⁻ᵃ

f '(a) = e⁻ᵃ(2 a - a²)

y =  a²e⁻ᵃ + e⁻ᵃ(2 a - a²)(x - a) = e⁻ᵃ(2 a - a²) x - ae⁻ᵃ(2 a - a²) + a²e⁻ᵃ

pour que les tangentes à Cf passent par l'origine du repère, il faut que

- ae⁻ᵃ(2 a - a²) + a²e⁻ᵃ = 0 ⇔ - 2a²e⁻ᵃ + a³e⁻ᵃ + a²e⁻ᵃ = 0

⇔ - a²e⁻ᵃ + a³e⁻ᵃ = 0 ⇔  a²e⁻ᵃ(a - 1) = 0 ⇔ a²e⁻ᵃ = 0  or e⁻ᵃ > 0 donc a² = 0

d'où a = 0   ; a - 1 = 0  d'où a = 1

Explications étape par étape

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