Réponse :
Bonjour, exercice d'application du cours sur les fonctions avec les réponses dans les questions (ce n'est que de la vérification)
Explications étape par étape
f(x)=(3-x)e^x +1 sur [2; 5]
1) Dérivée
f'(x)=-1(e^x)+(e^x)(3-x) on applique la formule de la dérivée d'une fonction produit tout en sachant que la dérivée de e^x est e^x
ce qui nous donne f'(x)=(2-x)e^x
La dérivée seconde ,on dérive f'(x) même méthode que pour f(x)
f"(x)=-1(e^x)+(e^x)(2-x)=(1-x)e^x
2) f'(x)=0 pour x=2 cette dérivée est toujours du signe de (2-x) car e^x est>0
tableau
x 2 5
f'(x)......................................-.................................
f(x) f(2).......................décroi...........................f(5)
on note que f(2)=e²+1 (valeur>0 ) et que f(5)=-2e^5 +1 (valeur<0)
3) La fonction f(x) étant continue et monotone sur [2; 5] avec f(2)>0 et f(5)<0, d'après le TVI il existe une et une seule valeur "alpha" telle que f(alpha)=0
f(3)=+1 f(4)=-e^4 +1 = -55 (environ) donc 3<alpha<4
4a)Tangente (T) au point d'abscisse x=3
On applique la formule (cours)
(T) y=f'(3)(x-3)+f(3) =(-e³)(x-3)+1
y=(-e³)x+3e³+1
4b) L'abscisse du point d'intersection de (T) avec l'axe des abscisses est la solution de y=0 soit x=(3e³+1)/e³=3+1/e³ les coordonnées de ce point sont (3+1/e³ ; 0)
4c) la dérivée seconde f"(x)=(1-x)e^x est du signe de 1-x elle est donc <0 sur [2; 5] de ceci on en déduit que sur cet intervalle la courbe de f(x) est concave
4d) La courbe étant concave elle est donc sous les tangentes donc en dessous de (T) ce qui signifie qu'elle coupe l'axe des abscisses pour une valeur alpha <3+1/e³
conclusion 3<alpha <3+1/e³ soit 3<alpha<3,05 (environ)