Réponse : Bonsoir,
b) On a:
[tex]\int_{-1}^{1} f(x) dx=\int_{-1}^{0} f(x) dx+\int_{0}^{1} f(x) dx=\int_{-1}^{0} x+1 \; dx+\int_{0}^{1} 1-x \; dx\\\int_{-1}^{1} f(x) \; dx=[\frac{x^{2}}{2}+x]_{-1}^{0}+[x-\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}=-(\frac{(-1)^{2}}{2}-1)+1-\frac{1^{2}}{2}=-\frac{1}{2}+1+1-\frac{1}{2}\\\int_{-1}^{1} f(x) \; dx=2-1=1[/tex]
c)
[tex]P(-0,5 \leq X \leq 0,75)=\int_{-0,5}^{0,75} f(x) \; dx=\int_{-0,5}^{0} x+1 \; dx+\int_{0}^{0,75} 1-x \; dx\\P(-0,5 \leq X \leq 0,75)=[\frac{x^{2}}{2}+x]_{-0,5}^{0}+[x-\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{0,75}=-(\frac{(-\frac{1}{2})^{2}}{2}-\frac{1}{2})+\frac{3}{4}-\frac{(\frac{3}{4})^{2}}{2}\\=-\frac{1}{8}+\frac{1}{2}+\frac{3}{4}-\frac{9}{16} \times \frac{1}{2}=-\frac{1}{8}+\frac{1}{2}+\frac{3}{4}-\frac{9}{32}=\frac{-4+16+24-9}{32}=\frac{27}{32}[/tex]
[tex]P(X < 0)=\int_{-1}^{0} x+1 \; dx=[\frac{x^{2}}{2}+x]_{-1}^{0}=-(\frac{(-1)^{2}}{2}-1)=-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}[/tex]
d)
[tex]P_{(X > 0)}(X \leq 0,5)=\frac{P(X > 0 \cap X \leq 0,5)}{P(X > 0)}=\frac{P(0 < X \leq 0,5)}{P(X > 0)}\\P(0 < X \leq 0,5)=\int_{0}^{0,5} f(x) \; dx=\int_{0}^{0,5} 1-x \; dx=[x-\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{0,5}\\=\frac{1}{2}-\frac{(\frac{1}{2})^{2}}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{8}=\frac{4-1}{8}=\frac{3}{8}\\\displaystyle Donc \; P_{(X > 0)}(X \leq 0,5)=\frac{P(0 < X \leq 0,5)}{P(X > 0)}=\frac{\frac{3}{8}}{\frac{1}{2}}=\frac{3}{8} \times 2=\frac{3}{4}[/tex]
NB: On a que [tex]P(X > 0)=\frac{1}{2}[/tex] car:
[tex]P(X < 0)+P(X > 0)=1[/tex]
Et à la question précédente, on a vu que [tex]P(X < 0)=\frac{1}{2}[/tex]