Réponse :
Explications étape par étape
ex1)
Tout d'abord EB=3V2 (diagonale d'un carré de côté "a" est aV2) et FI=3V3 ( la hauteur d'un triangle équilatéral de côté "a" est (aV3)/2 )
1)vecAV*vecAF=AB*AI car I est le projeté de F sur (AB)
vecAB*vecAF=6*3=18
2)vecAD*vecAE=AD*AD=AD² car D est le projeté de E sur (AD)
vecAD*vecAE=3²=9
3)vecCE*vecCD=CE*CD cos (DCE)=3*6*(-1)=-18 on peut aussi dire que ce sont deux vecteurs colinéaires mais de sens opposé
4) vecBF*vecBC soit F' le projeté de F sur (BC) vecBF'=vecIF
vecBF*vecBC=vecBF'*vecBC=-3*3V3=-9V3
5)vecDA*vecCE=0 car ces deux vecteurs sont orthogonaux
6)vecDB*vecFI=(vecDE+vecEB)*vecFI=vecDE*vecFI+vecEB*vecFI
=vecEB*vecFI car vecDE*vecFI=0 ( vecteursorthogonaux)
On note que le vecFI est // et de même sens que le vecBC donc
vecBE*vecFI=BE*FI cos(EBC)=3V2*3V3*cos45°=3V2*3V3*1/V2=9V3
ex2)
2) on utilise les composantes (coordonnées) des vecteurs RS et RT
vecRS(-3; -4) vecRT(-5; -1)
vecRS*vecRT=(-3)*(-5)+(-4)*(-1)=15+4=19
3)on sait que vecRS*vecRT=RS*RT cos (SRT) donc cos (SRT)=19/RS*RT
calculons RS= 5 et RT=V26 (ceci avec le th. de Pythagore et les composantes des vecteurs)
cos (SRT)=19/5*V26 avec ta calculette tu en déduis angle SRT=41,8° (environ)
4) Pour que triangle RTU soit rectangle en U il faut que les vecteurs RU et TU soient perpendiculaires On sait que U a pour coordonnées(0;y) nota je mets y et non x car on recherche l'ordonnée de U et non l'abscisse.
Coordonnées des vecteurs
vecRU( 0-2; y-1) soit (-2; (y-1))
vecTU (0-(-3); y-0) soit (3; y)
Il nous reste à résoudre l'équation (-2)*3+(y-1)*y=0
soit y²-y-6=0
via delta =25 on trouve les deux solutions y1=-2 et y2=3
Il y a donc deux points M ; M1(0; -2) et M2(0; 3)
Rappel de 5ème :le centre du cercle circonscrit d'un triangle rectangle est le milieu de son hypoténuse donc M1 et M2 sont les intersections du cercle de diamètre [RT] avec l'axe des ordonnées (trace le).
Ex3
la longueur de la régate est AB+BC+CA pour simplifier les calculs et ne pas traîner des 0000 on met tout en km sachant que ceci ne change rien aux valeurs angulaires.
1)calcul de AC (formule d'Al Kashi)
AC²=AB²+BC²-2AB*BC*cos ABC=2²+1²-4cos105°=5-4cos 105°
AC=+V(5-4cos105°)=2,457 Km (environ ) et vérifie.
donc AB+BC+CA=2+1+2,457=5,457 km
2)Valeur de l'angle teta on rutilise la formule d'Al Kashi
AB²=CA²+CB²-2CA*CB* cos teta
cos teta=(AB²-CA²-CB²)/(-2*CA*BC)
Il suffit de remplacer et d'effectuer les calculs puis utiliser la fonction arc cos ou cos^-1 de la calculette pour déterminer téta . Comme on te demande un arrondi au 1/100 près il faut garder les valeurs exactes de AC² et AC jusqu'à la dernière opération.
