Réponse: Bonsoir,
1)
[tex]p(-x)=\frac{f(-x)+f(-(-x))}{2}=\frac{f(-x)+f(x)}{2}=p(x)[/tex]
Donc p est une fonction paire.
[tex]i(-x)=\frac{f(-x)-f(-(-x))}{2}=\frac{f(-x)-f(x)}{2}=-\frac{f(x)-f(-x)}{2}=-i(x)[/tex]
Donc i est une fonction impaire.
2) On a que:
[tex]p(x)+i(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2}=\frac{2f(x)}{2}=f(x)[/tex]
On a donc que [tex]f(x)=p(x)+i(x)[/tex], f étant définie sur [tex]\mathbb{R}[/tex], donc tout fonction définie sur l'ensemble des réels, est la somme d'une fonction paire et impaire.
