Bonjour ;
On a : lim(x-->+∞) 1/e^x = 0 et lim(x-->+∞) 1/e^(2x)
= lim(x-->+∞) 1/(e^x)² = 0 ;
donc : lim(x-->+∞) f(x) = lim(x-->+∞) (e^(2x) + e^x + 1)/(e^x + 2)
= lim(x-->+∞) ((e^x)² + e^x + 1)/(e^x + 2)
= lim(x-->+∞) ((e^x)²(1 + 1/e^x + 1/(e^x)²))/(e^x(1 + 2/e^x))
= lim(x-->+∞) (e^x(1 + 1/e^x + 1/(e^x)²))/(1 + 2/e^x) = + ∞ ,
car : lim(x-->+∞) 1 + 1/e^x + 1/(e^x)² = 1 et lim(x-->+∞) 1 + 2/e^x = 1 .
On a : lim(x-->- ∞) e^x = 0 ; lim(x-->- ∞) e^(2x) = lim(x-->- ∞) (e^x)² = 0 ;
donc : lim(x-->- ∞) e^(2x) + e^x + 1 = 1 et lim(x-->- ∞) e^x + 2 = 2 ;
donc : lim(x-->- ∞) f(x) = lim(x-->- ∞) (e^(2x) + e^x + 1)/(e^x + 2) = 1/2 .
