Réponse : Bonsoir,
1) On sait que pour une droite d'équation y=ax+b, alors son intersection avec l'axe des ordonnées, est égale à [tex]a \times 0+b=b[/tex].
IL s'agit de calculer l'ordonnée à l'origine [tex]b[/tex] de (AM).
Comme le point A appartient à (AM) alors:
[tex]y_{A}=\frac{-1}{x-1} \times x_{A}+b\\1=\frac{-1}{x-1}+b\\b=1+\frac{1}{x-1}=\frac{x-1+1}{x-1}=\frac{x}{x-1}[/tex]
Donc le point N a pour coordonnées [tex]N(0;\frac{x}{x-1})[/tex].
On est donc en mesure de calculer la distance ON:
[tex]ON=\sqrt{(0-0)^{2}+(\frac{x}{x-1}-0)^{2}}=\frac{x}{x-1}[/tex].
2) L'aire [tex]\mathcal{A}[/tex] du triangle OMN est:
[tex]\mathcal{A}=\frac{OM \times ON}{2}=\frac{x \times \frac{x}{x-1}}{2}=\frac{x^{2}}{2(x-1)}=\frac{x^{2}}{2x-2}[/tex]
3) Il faut étudier les variations de [tex]f(x)=\frac{x^{2}}{2x-2}[/tex].
Pour cela, on calcule la dérivée f':
[tex]f'(x)=\frac{2x(2x-2)-2x^{2}}{(2x-2)^{2}}=\frac{4x^{2}-4x-2x^{2}}{(2x-2)^{2}}=\frac{2x^{2}-4x}{(2x-2)^{2}}=\frac{x(2x-4)}{(2x-2)^{2}}[/tex]
Comme le trinôme du second degré [tex]2x^{2}-4x=x(2x-4)[/tex], alors ses racines sont x=0 et x=2. Comme il a deux racines, alors son discriminant est strictement positif, et on a donc le tableau suivant:
x 1 2 +∞
f'(x) ║ - Ф +
f(x) ║ (décroissante) (croissante)
D'après le tableau de variations précédent, on déduit que le minimum de f est atteint en x=2.
Donc la position du point M, pour que l'aire du triangle OMN soit minimal est x=2, soit le point M(2;0).
Et cette aire minimale est égale à f(2):
[tex]f(2)=\frac{2^{2}}{2 \times 2-2}=\frac{4}{2}=2[/tex]
Cette aire minimale du triangle OMN est donc égale à 2 cm².