Réponse : Bonsoir,
2) Pour [tex]n \in \mathbb{N}, \; 1,5^{n} >0, \; n+1 > 0[/tex], donc [tex]u_{n}=\frac{1,5^{n}}{n+1} > 0[/tex], pour tout [tex]n \in \mathbb{N}[/tex].
On a:
[tex]\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{1,5^{n+1}}{n+2} \times \frac{n+1}{1,5^{n}}=\frac{1,5(n+1)}{n+2}=\frac{3}{2}\frac{n+1}{n+2}=\frac{3(n+1)}{2(n+2)}=\frac{3n+3}{2n+4}[/tex]
3) Résolvons sur [tex]\mathbb{N}[/tex], l'inéquation:
[tex]\frac{3n+3}{2n+4} \geq 1\\\frac{3n+3}{2n+4}-1 \geq 0\\\frac{3n+3-(2n+4)}{2n+4} \geq 0\\\frac{3n+3-2n-4}{2n+4} \geq 0\\\frac{n-1}{2n+4} \geq 0\\[/tex]
Pour tout [tex]n \in \mathbb{N}, 2n+4 > 0[/tex], donc [tex]\frac{n-1}{2n+4}[/tex] est du signe de n-1.
On a donc le tableau de signes suivant:
n 0 1 +∞
n-1 - Ф +
Donc la solution de l'inéquation est tout entier [tex]n \in [1;+\infty[[/tex].
On en déduit que pour tout [tex]n \in [1;+\infty[, \; \frac{u_{n+1}}{u_{n}} \geq 1[/tex], donc à partir du rang n=1, la suite [tex](u_{n})[/tex] est croissante. Et pour les rangs de n=0 à n=1, la suite [tex](u_{n})[/tex] est décroissante.
