Réponse :
F(x) représentée sur le graphique est à priori de la forme ax³+bx²+cx+d
et f(x) est sa dérivée
Explications étape par étape
1)Tableau de variations de F(x) sur [0; 3] par lecture graphique
x 0 1 2 3
F(x)0...croi.............2,5.........décroi...........2.......croi...............4,5
2a) (T) est une fonction affine y=6x
b) (T) est tangente à la courbe au point d'abscisse x=0 donc F(0)=0 et et le nombre dérivé f(0)=6
3) la fonction dérivée f(x) est >0 quand F(x) est croissante soit sur:
[0; 1[ U]2; 3]
4) L'intégrale de f(x)dx sur [1;3] est F(3)-F(1)=4,5-2,5=2
5) G(x) étant une primitive de f(x) elle est de la même forme que F(x) à la constante près. On sait que F(0)=0 et que G(0)=1, G(x) est donc l'image de F(x) par translation de vecteur (0; 1)
donc G(3)=F(3)+1=4,5+1=5,5
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Non demandé: Je te mets en plus une expression possible de F(x) sur [0; 4] F(x)=ax³+bx²+cx+d
la droite (T) d'équation y=6x est tangente à F(x) au point d'abscisse x=0 de ceci on en déduit que F(0)=0 donc d=0
2)F(x)=ax³+bx²+cx
dérivée f(x)=3ax²+2bx+c on a 3 inconnues a, b et c on connaît les coefficients directeurs de 3 tangentes on écrit 3 équations
f(0)=6 soit 0a+0b+c=6 équa ( 1)
f(1)=0 soit 3a+2b+c=0 équa(2)
f(2)=0 soit 12a+4b+c=0 équa(3)
de (1) on tire c=6
ce qui donne
3a+2b+6=0 équa (2) ou -6a-4b-12=0 (2)
12a+4b+6=0 équa (3)
(2)+(3) 6a-6=0 soit a=1
report dans (2) 3+2b+6=0 soit b=-9/2
F(x)=x³-(9/2)x²+6x
