Réponse :
Explications étape par étape
bonjour
a) J ai fait le calcul sous Excel
n = Un
0 1
1 2
2 0
3 1
4 2
5 0
6 1
7 2
8 0
9 1
10 2
11 0
12 1
13 2
14 0
15 1
16 2
17 0
18 1
19 2
20 0
on voit que la suite ne prend que 3 differentes valeurs de maniere periodique
par theoreme de la division euclidienne, pour tout n entier on peut trouver p et q entiers tel que q < 3 et
n = 3p+q
on peut faire la conjecture suivante
pour tout n entier
Un =U3p+q = 1 si q = 0
= 2 si q = 1
= 0 si q = 2
b) prouvons par recurrence que U3n = 1, U3n+1 = 2 et U3n+2 = 0 pour tout n
+ au rang n = 0 on a uo = 1, u1 = 2, u2 = 0 - c est donc vrai au rang 0
+ supposons que c est vrai au rang n et prouvons que ca reste vrai au rang n+1
par hypothese de recurrence
u3n = 1
u3n+1 =2
u3n+2 = 0
prouvons que u3n+3 = 1, u3n+4 = 2 et u3n+5 =0
u3n+3 = -3/2u3n+2 +5/2u3n+2 + 1 = 1
u3n+4 = -3/2u3n+3 +5/2u3n+3 + 1 = 2
u3n+5 = -3/2u3n+4 +5/2u3n+4 + 1 = 0
donc c est vrai au rang n+1
on vient donc de demontrer par recurrence que pour tout n entier
u3n = 1
u3n+1 =2
u3n+2 = 0
c) la division euclidienne de 2020 par 3 nous donne 2020 = 673 * 3 + 1
U(2020) = U(3x673+1) = 2
