Réponse :
Bonjour,
Explications étape par étape
Partie A :
1)
f(0)=0 car Cf passe par l'origine.
La tangente (T) passe par 2 points : (0;0) et (2;4).
f '(0)=coeff directeur de (T)=(4-0)/(2-0)=2
f '(10)=0 car la tgte au point d'abscisse x=10 est // axe des x.
2)
a)
f(x)=2xexp(-0.1x)
f est de la fome : u-v avec :
u=2x donc u '=2
v=exp(-0.1x) donc v '=-0.1*exp(-0.1x)
f '(x)=2*exp(-0.1x)-0.1x*(exp(-0.1x)
f '(x)=2*exp(-0.1x)-0.2x*exp(-0.1x)
f '(x)=0.2*exp(-0.1x)(10-x)
b)
La fct exp(x) est tjrs > 0 donc f '(x) est du signe de (10-x).
10-x > 0 ==>x < 10
Variation :
x------------>0..................................10................................30
f '(x)------->..............+......................0..............-...................
f(x)--------->0..........croît..............≈7.36......décroît.......≈2.99
3)
a)
Sur [0;10] , f(x) est continue et strictement croissante passant de la valeur zéro pour x=0 à une valeur ≈ 7.36 pour x=10. Donc d'après la théorème des valeurs intermédiaires , il existe un unique réel α tel que f(α)=5.
b)
f(3) ≈ 4.44 < 5
f(4) ≈ 5.36 > 5
f(3.5) ≈ 4.93 < 5
f(3.6) ≈ 5.02 > 5
f(3.57) ≈ 4.9964 < 5
f(3.58) ≈5.0054 > 5
Donc :
α ≈ 3.57 à 0.01 près.
4)
a)
Je suppose qu'il faut lire :
f "(x)=(1/50)exp(-0.1x)(x-20)
f "(x) est donc du signe de (x-20).
x-20 > 0 ==> x > 20
Donc sur [0;20] , f "(x) est < 0 et f(x) est concave.
Et sur [20;30] , f "(x) est > 0 donc f(x) est convexe.
b)
Comme f "(x) s'annule et change de signe en x=20 , on peut en déduire que le point d'abscisse x=20 est un point d'inflexion pour Cf.
Partie B :
1)
Je suppose que tu parles de f(x) et non F(X) ??
D'après le tableau de variation de f(x) , le bénéfice est max pour x=10 ( en centaines de jouets)..
Et f(10)≈ 7.3576 en milliers d'euros
Il faut donc produire 1000 jouets pour un bénéfice max de 7358 euros environ ( à l'euro près).
2)
Il faut résoudre f(x) > 5.
On utilise la valeur de α ≈ 3.57
Mais on voit graphiquement que f(x) < 5 sur [10;30] à partir d'une valeur x=β comprise entre x=20 et x= 22.
Avec la calculatrice , on trouve :
f(21.53) ≈ 5.0008
f(21.54) ≈ 4.9981
β≈ 21.53
Il faut donc produire plus de 357 jouets mais moins de 2153 pour avoir un bénéfice > 5000 euros.
