Explications étape par étape
Exercice 1
1 - Combien cette légion comporte-t-elle de soldats sachant qu'elle en compte moins de 200 hommes ?
Soit N le nombre de soldats.
S'ils se rangent par lignes de 5, il reste 4 soldats ==> N + 1 est un multiple de 5.
S'ils se rangent par lignes de 6, il reste 5 soldats ==> N + 1 est un multiple de 6.
S'ils se rangent par lignes de 8, il reste 7 soldats ==> N + 1 est un multiple de 8.
Or le plus petit commun multiple de 5, 6 et 8 est 120
Donc N + 1 est un multiple de 120.
==> N + 1 = 120 ou N + 1 = 240 ou N + 1 = 360 ou ....
==> N = 120 - 1 ou N = 240 - 1 ou N = 360 - 1 ou ....
==> N = 119 ou N = 239 ou N = 359 ou ....
Or N < 200
Par conséquent N = 119
La légion comporte 119 soldats.
2 - Par lignes de combien de soldats ce centurion pourra-t-il ranger correctement son armée ?
119 = 1 x 119
119 = 7 x 17
119 = 17 x 7
119 = 119 x 1
Donc les diviseurs de 119 sont 1 , 7 , 17 et 119.
Nous pouvons déjà écarter 1 et 119 puisque nous n'allons pas ranger les soldats par ligne de 1 soldat ou par une ligne de 119 soldats.
On en déduit que nous pourrions ranger les soldats par lignes de 7 ou de 17.
Exercice 2
- On calcule la longueur DE
On sait que AE = 30,5 mètres et AD = 30 mètres.
On sait que ADE est un triangle rectangle en D, donc d'après le théorème de Pythagore :
AE² = AD² + DE²
30,5² = 30² + DE²
DE² = 30,5² - 30²
DE² = 930,25 - 900
DE² = 30,25 donc DE = √ 30,25 = 5,5 mètres
- On calcule la longueur EC
On sait que DE = 5,5 mètres et DC = 8 mètres.
EC = DC - DE
EC = 8 - 5,5
EC = 2,5 mètres
La deuxième passerelle se trouve à une hauteur exacte de 2,5 mètres.
