Réponse :
1.b que peut-on conjecturer pour les droites (AJ), (BK) et (CI)
pour les points I, J , K ainsi définis, les droites (AJ) , (BK) et (CI) sont concourantes au point D
2) déterminer, par calcul, les coordonnées des points I; J et K
soit I(x ; y)
vec(AI) = (x - 4 ; y - 5)
vec(AB) = (1 - 4 ; 2 - 5) = (- 3 ; - 3) d'où 1/3vec(AB) = (- 1 ; - 1)
(x - 4 ; y - 5) = (- 1 ; - 1) d'où x - 4 = - 1 ⇔ x = - 1+4 = 3
y - 5 = - 1 ⇔ y = - 1 + 5 = 4
les coordonnées de I sont: I(3 ; 4)
vec(BJ) = (x - 1 ; y - 2)
vec(BC) = (9-1 ; 0-2) = (8 ; - 2) d'où 3/4vec(BC) = (6 ; - 3/2)
donc x - 1 = 6 ⇔ x = 7 et y - 2 = - 3/2 ⇔ y = - 3/2) + 2 = 1/2
J(7 ; 1/2)
vec(CK) = (x - 9 ; y)
vec(CA) = (4 - 9 ; 5) = (- 5 ; 5) d'où 2/5vec(CA) = (- 2 ; 2)
donc x - 9 = - 2 ⇔ x = 7 et y = 2
K(7 ; 2)
3) démontrer la conjecture émise à la question 1.b.
les vecteurs AD et DJ sont colinéaires ssi x'y - y'x = 0
vec(AD) = (6-4 ; 2-5) = (2 ; - 3)
vec(DJ) = (7 - 6 ; 1/2 - 2) = (1 ; - 3/2)
1 * (- 3) - (-3/2)*2 = - 3 + 3 = 0 ; les vecteurs AD et DJ sont colinéaires
donc le point D ∈ (AJ)
vec(BD) = (6-1 ; 2-2) = (5 ; 0)
vec(DK) = (7 - 6 ; 2 - 2) = (1 ; 0)
1 * 0 - 0* 5 = 0 ; les vecteurs BD et DK sont colinéaires donc D ∈ (BK)
vec(CD) = (6 - 9 ; 2) = (- 3 ; 2)
vec(DI) = (3 - 6 ; 4 - 2) = (- 3 ; 2)
-3*2 - 2*(- 3) = - 6+6 = 0
les vecteurs CD et DI sont colinéaires donc D ∈ (CI)
le point D ∈ aux trois droites (AJ) ; (BK) et (CI) donc les trois droites sont concourantes au point D
Explications étape par étape
