Bonjour ;
1.
La droite (CF) est la tangente commune au cercle de centre
et au cercle de centre B ; donc la droite (CF) est perpendiculaire
aux droites (AF) et (BF) ; donc ces deux droites sont parallèles ;
et comme elles ont un point en commun qui est le point F ; alors
elles sont confondues ; donc les point A ; F et B sont alignés ;
donc le point F est un point du segment [AB] .
De plus , AF et BF sont des rayons des deux cercles de centres A
et B ; donc on a : AF = BF = 5 cm .
De même , on montre que les points C ; H ; A sont alignés
et HA = HC = 5 cm , ce qui donne : CA = CH + HA = 5 + 5 = 10 cm .
Conclusion : le triangle CFA est rectangle en F ; donc en appliquant
le théorème de Pythagore , on a : CA² = CF² + AF² ;
donc : 10² = CF² + 5² ;
donc : 100 = CF² + 25 ;
donc : CF² = 100 - 25 = 75 cm² ;
donc : CF = √(75) = 5√3 cm .
2.
L'aire du triangle ABC est : 1/2 x CF x AB = 1/2 x 5√3 x 10 = 25√3 cm² .
3.
On a : AB = AF + FB = 5 + 5 = 10 cm et CA = 10 cm .
Comme pour [AB] et [AC] et par la même méthode , on montre
que les points B ; G ; C sont alignés et BC = GC + GB = 5 + 5
= 10 cm .
Les côtés du triangle ABC sont de même mesure ; donc c'est
un triangle équilatéral ; donc ses angles au sommet ont pour
mesure π/3 rad ;
le secteur AFH a pour aire : (π/3 x 5² x π)/(2π) = 25/6 π cm² ;
donc comme les secteurs AFH ; BFG et CGH ont même angle
au sommet ; donc ils ont une même aire ; donc la somme de
leur aire est 3 x 25/6 π cm² = 25/2 π cm² .
L'aire de l'un des cercles est : π x 5² = 25π cm² ;
donc donc la somme des aires des trois secteurs est la moitié
de l'aire de l'un des cercles .
4.
L'aire comprise entre les trois cercles est la différence entre
l'aire du triangle ABC et la somme des aires des trois secteurs :
25√3 - 25/2 π = 25(√3 - π/2) cm² ≈ 4,0 cm² .