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résolu

Bonsoir à tous, y aurait-il quelqu'un pour m'aider s'il vous plaît. l'énoncé en photo et voici les questions.
1) Montrer que l'air du fond de la boîte s'exprime en fonction de x par: A(x)=-2x²+20x. 2)Montrer que le volume V de la boîte, en cm³, s'exprime en fonction de x par: V(x)=3x²-60x²+300x. 3) Compléter le tableau de valeurs suivant(voir photo) 4) Exprimer la dérivée V' de la fonction V. 5)Résoudre l'équation V' (x)=0 sur l'intervalle [1;8] 6) Dresser le tableau de variation de la fonction V sur l'intervalle[1;8]. 7) En déduire la valeur de x que permet d'obtenir une boîte de volume maximal (on arrondira le résultat au dixième de cm) 8) Calculer le volume maximal de cette boîte ( on arrondira au dixième de cm³).

Bonsoir À Tous Y Auraitil Quelquun Pour Maider Sil Vous Plaît Lénoncé En Photo Et Voici Les Questions 1 Montrer Que Lair Du Fond De La Boîte Sexprime En Fonctio class=
Bonsoir À Tous Y Auraitil Quelquun Pour Maider Sil Vous Plaît Lénoncé En Photo Et Voici Les Questions 1 Montrer Que Lair Du Fond De La Boîte Sexprime En Fonctio class=

Répondre :

TENURFGO

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape

Question 1 ---

l aire du fond de la boite s exprime par

x * ( 20 - 2 x)

car il s agit d un rectangle dont un cote est de longueur x  

et l autre de longueur 20 - x - x = 20 - 2x

donc ,  en developpant ,

[tex]A(x) = x ( 20-2x) = -2x^2 +20x[/tex]

Question 2 ---

le volume de la boite est egal a  

(20-2x) * (30-3x)/2 * x

=(600 - 60x - 60x + 6x^2 ) x/2

= [ 6x^3 -120x^2 +600x ] / 2

= 3x^3 - 60x^2 + 300x

Question 3 ---

x  1 2 3 4 5 6 7 8

V(x) 243 384 441 432 375 288 189 96

il suffit d utiliser la calculatrice ou un tableur

Question 4 ---

V est derivable sur R car il s agit d une fonction polynome

V'(x)=9x^2-120x+300

Question 5 ---

nous pouvons utiliser la formule du discrimant pour determiner les racines

et factoriser l expression

Cependant il existe une racine triviale donc j utilise cette information ici

V'(x)=0

<=>

9x^2-120x + 300 = 0

<=>

3x^2-40x + 100 = 0

<=> [on constate que 10 est une solution triviale donc on factorise par (x-10) ]

(x-10)(3x-10) = 0

<=>

x = 10

ou

x = 10/3

du coup la solution sur [1;8] est 10/3

Question 6 ---

V'(x) = 0 pour x = 10/3

V'(x) <= 0 pour x >= 10/3

V'(x) >= 0 pour 1 <= x <= 10/3

donc V est croissante sur 1 <= x <= 10/3

donc V est decroissante sur 10/3 <= x <= 8

Question 7 ---

d apres les variations de la fonction V

sur [1;8] le maximum de V(x) est atteint quand x=10/3 (V'(x)=0)

donc x = 3.33 cm

Question 8 ---

V(10/3) = 444.44 cm^3

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