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4KLEFAGO
résolu

Bonjour
J’ai besoin d’aide pour cette exercice svp
Merci beaucoup :
On considère le repère (0;i,j) orthonormé. Dans ce repère, on considère les points A (-3 ; -2), B(2; -1), C(3; 4) et D( -2; 3).
1) montrer que le point C est l’image du point D dans la transaction de vecteur AB
En déduire la nature du quadrilatère ABCD
2) Faire une figure que vous compléterai au fur et à mesure des questions
3) le point J et le milieu du segment [AD]. Déterminer ses coordonnées
4) Le point K est tél que JK = 1/3 JC
Exprimer DB et DK en fonction de DJ et DC
Que peut on en déduire ? Expliquer
5) montrer que le point K apour coordonnées (-2/3 ; 5/3 ).
6) Le point E et le centre du quadrilatère ABCD. Calculer le déterminant des vecteurs DK et DE
Que peut on en déduire ? Expliquer
7) calculer les distances AC et AD que peut on esr déduire du quadrilatère ABCD ?
8) calculer les disctances AC et ED. En déduire l’aire du quadrilatère ABCD
MERCI

Répondre :

Réponse :

1) montrer que le point C est l'image du point D dans la translation de vecteur AB

il suffit de montrer que le vec(DC) = vec(AB)

vec(DC) = (3+2 ; 4-3) = (5 ; 1)

vec(AB) = (2 + 3 ; - 1+2) = (5 ; 1)

donc vec(DC) = vec(AB)

en déduire la nature du quadrilatère ABCD

puisque vec(AB) = vec(DC)  donc ABCD est un parallélogramme

3) le point J est le milieu du segment (AD), déterminer ses coordonnées

 J milieu de (AD) donc  J((-2-3)/2 ; (3-2)/2) = (- 5/2 ; 1/2)

4) le point K est tel que  vec(JK) = 1/3vec(JC)

exprimer vec(DB) et vec(DK) en fonction de vec(DJ) et vec(DC)

vec(DB) = vec(DA) + vec(AB)   relation de Chasles

or vec(DA) = 2vec(DJ)  car J milieu de (DA)

et vec(AB) = vec(DC) car ABCD parallélogramme

donc vec(DB) = 2vec(DJ) + vec(DC)

vec(DK) = vec(DJ) + vec(JK)  relation de Chasles

vec(DK) =  vec(DJ) + 1/3vec(JC)

or vec(DC) = vec(DJ) + vec(JC) relation de Chasles

 donc vec(JC) = vec(DC) - vec(DJ)

donc vec(DK) = vec(DJ) + 1/3(vec(DC) - vec(DJ)) = 2/3vec(DJ) + 1/3vec(DC)

que que peut-on en déduire ? expliquer

vec(DB) et vec(DK) sont colinéaires  car vec(DK) = 1/3vec(DB)

5) montrer que le point K a pour coordonnées (-2/3 ; 5/3)

 soit  K(x ; y)

vec(DK) = (x+2 ; y-3)

vec(DB) = (2+2 ; - 1 - 3) = (4 ; - 4)  d'où 1/3vec(DB) = (4/3 ; - 4/3)

x + 2 = 4/3  ⇔ x = 4/3 - 2 = - 2/3

y - 3 = - 4/3 ⇔ y = - 4/3 + 3 = 5/3

donc K(-2/3 ; 5/3)

6) le point E est le centre du quadrilatère ABCD, calculer le déterminant des vecteurs DK et DE

E milieu (DB) donc  E(0 ; 1)

vec(DK) = ((-2/3) + 2 ; 5/3) - 3)) = (4/3 ; - 4/3)

vec(DE) = (2 ; 1 - 3) = (2 ; - 2)

déterminant  D = x'y - y'x  = 2(-4/3) - (-2)(4/3) = - 8/3  + 8/3 = 0

que peut-on en déduire ? expliquer

les vecteurs DE et DK sont colinéaires  car le déterminant est nul ou  vec(DK) = 2/3vec(DE)  

7) calculer les distances AC et AD, que peut-on en déduire du quadrilatère ABCD ?

AC² = 6² + 6² = 72

AD² = 1 + 25 = 26

DC² = 1 + 25 = 26

on voit bien que AD = DC  donc ABCD est un losange

vous terminer c'est très long  

               

Explications étape par étape

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