Réponse : Bonjour,
1)
[tex]u_{1}=(u_{0})^{2}+u_{0}+1=(-1)^{2}-1+1=1\\u_{2}=(u_{1})^{2}+u_{1}+1=1^{2}+1+1=3\\u_{3}=(u_{2})^{2}+u_{2}+1=3^{2}+3+1=9+3+1=13\\u_{4}=(u_{3})^{2}+u_{3}+1=13^{2}+13+1=169+13+1=183\\u_{5}=(u_{4})^{2}+u_{4}+1=183^{2}+183+1=33489+183+1=33673[/tex]
2) On a:
[tex]u_{n+1}=(u_{n})^{2}+u_{n}+1\\u_{n+1}-u_{n}=(u_{n})^{2}+1[/tex]
Pour tout entier naturel n, [tex](u_{n})^{2} \geq 0[/tex], car un carré est toujours positif, donc [tex](u_{n})^{2}+1 > 0[/tex], on en déduit que pour tout entier naturel n, [tex]u_{n+1}-u_{n} > 0[/tex], donc que [tex]u_{n} < u_{n+1}[/tex].
La suite [tex](u_{n})[/tex] est donc croissante.
3) Les cinq premiers termes de la suite sont:
[tex]v_{0}=0^{2}+0+1=1\\v_{1}=1^{2}+1+1=3\\v_{2}=2^{2}+2+1=4+2+1=7\\v_{3}=3^{2}+3+1=9+3+1=13\\v_{4}=4^{2}+4+1=16+4+1=21[/tex]
On a que [tex]v_{n}=f(n)[/tex], pour tout entier naturel n.
On doit donc étudier les variations de f sur [0;+∞[.
Pour cela, on calcule la dérivée f':
[tex]f'(x)=2x+1[/tex]
On étudie le signe de f', en résolvant l'inéquation:
[tex]2x+1 \geq 0\\2x \geq -1\\x \geq -\frac{1}{2}[/tex]
On a donc le tableau suivant:
x 0 +∞
f'(x) +
f(x) (croissante)
La fonction f est donc croissante sur [0;+∞[.
Donc pour tout entier naturel n:
[tex]f(n) < f(n+1)\\v_{n} < v_{n+1}[/tex]
La suite [tex](v_{n})[/tex] est donc croissante.
