Réponse :
Explications étape par étape
1) On a Pn la probabilité que le velo soit en A le "n-ieme" jour.
Dans ce premier cas, comme le velo est en A il a 0.7 de probabilité de retourner en A.
Ainsi on a : Pn * 0.7 = Pn+1 (a)
On a (1-Pn) la probabilité que le velo soit en B le "n-ieme" jour.
Dans ce premier cas, comme le velo est en B il a 0.2 de probabilité de retourner en A.
Ainsi on a : (1-Pn) * 0.2 = Pn+1 (b)
Donc la probabilité qu'il soit en A est la somme des probabilités des deux cas : Pn+1 = Pn+1 (a) + Pn+1 (b) = Pn * 0.7 + ( 1-Pn) * 0.2 = 0.7Pn -0.2Pn +0.2
Pn+1 =0.5Pn +0.2
2) a)
Uₙ = Pₙ -0.4
Uₙ₊₁ = Pₙ₊₁ -0.4
Sachant que Pₙ₊₁ = 0.5 Pₙ + 0.2
Uₙ₊₁ =0.5 Pₙ + 0.2 - 0.4
Uₙ₊₁ =0.5 Pₙ - 0.2
Uₙ₊₁ = (1/2) (Pₙ - 0.4)
Uₙ₊₁ = (1/2)Uₙ
U₀= P₀ -0.4 = 0.5 -0.4 = 0.1
Un est donc géométrique, de raison (1/2) et de premier terme 0.1.
b)
Un est une suite géométrique donc :
Uₙ = (1/2)ⁿ x U₀ = (1/2)ⁿ x 0.1
Ainsi on peut déduire Pₙ :
Uₙ = Pₙ -0.4 ⇔ Pₙ = Uₙ+ 0.4
Pₙ = (1/2)ⁿ x 0.1 + 0.4
3) [tex]\lim_{n \to \infty}:(\frac{1}{2})^{n} \times 0.1 = 0[/tex]
Un tendra vers 0
Si Un tend vers 0 et que :
[tex]\lim_{n \to \infty} 0.4 = 0.4[/tex]
Donc
[tex]\lim_{n \to \infty} Pn = 0.4[/tex]
Donc la probabilité que le vélo soit en A le "n-ième" est de 0.4
