Bonjour:
1 - P(M) est donc égale à 0,001. La probabilité qu’une personne malade présente un test positif est une probabilité conditionnelle. En effet, c’est la probabilité qu’une personne choisie au hasard présente un test positif sachant que cette personne est malade. Ainsi Pm(T)=0,99, donc la probabilité qu’une personne saine présente un test positif est une probabilité conditionnelle : c’est la probabilité que cette personne présente un test positif sachant qu’elle est saine. Ainsi, Pm barre (T)=0,001
L'arbre de pondéré suivant l'image ci-dessous :
b) Calculer la probabilité d’un événement
L’événement T est associé à deux feuilles M∩T et M barre∩T .
Par conséquent (formule des probabilités totales), la probabilité de l’événement T est la somme des probabilités de ces feuilles :
P(T)=P(M∩T)+P(M barre ∩T)
=P(M) x Pm(T)+P(M barre)x Pm barre(T) Proba d'une feuille
=0,001 x 0,99+0,999 x 0,001 (lecture de l'arbre pondéré)
=0,001989
=1,989 x 10^-3
La probabilité qu’une personne choisie au hasard ait un test positif est 1,989 x 10^-3.
c) Calculer une probabilité conditionnelle
Pour confirmer ou infirmer cette affirmation, nous devons calculer une probabilité conditionnelle : probabilité qu’une personne choisie au hasard soit malade sachant que son test est positif. Cette probabilité conditionnelle se note PT(M) et par définition :
PT(M)= P(M∩T) / P(T)
=P(M) x PM(T)/P(T)
=0,001x0,99/1,989x10^-3
≈0,4977<0,5
L’affirmation « Si le test est positif, il y a moins d’une chance sur deux que la personne soit malade » est donc vraie.
2. Déterminer une valeur sous contrainte
2. D'après la formule des probabilités totales, on obtient :
P(T)=P(T∩M)+P(T∩M barre)=x×0,99+(1−x)×0,001=0,001+0,989x.
On recherche la valeur de x pour laquelle on ait PT(M)≥0,95 soit, d'après la question précédente, P(T∩M)/P(T)c'est-à-dire 0,99x/0,001+0,989x ⩾0,95
Ce qui donne 0,05045x ≥ 0,00095 et finalement, x ⩾19/1009
Le laboratoire commercialise le test correspondant pour x ⩾19/1009
