Réponse :
Bonjour,
Explications étape par étape
1)
les fonctions cosinus et sinus sont des fonctions 2π-périodiques
de ce fait, f est 2π-périodique
pour tout x réel f(x+2π)=f(x)
2)
pour tout x réel
[tex]f(-x) = \frac{cos(-x)}{3+sin^2(-x)}[/tex]
or cos(-x)=sin(x) et
[tex](sin(-x))^2 = (-sinx)^2 = sin^2(x)[/tex]
donc f(-x)=f(x)
De ce fait, nous pouvons nous contenter d'étudier f sur [0;π]
3)
f est dérivable sur [0;π]
c'est de la forme [tex]\frac{u}{v}[/tex] avec u(x) = cosx et [tex]v(x)=3+sin^2x[/tex]
[tex]f'(x) = \frac{u'v-uv'}{v^2}[/tex]
[tex]f'(x) = \frac{-sin(x) ( 3+sin^2(x) -cos(x)(2sinxcosx}{(3+sin^2x)^2}[/tex]
[tex]f'(x) = \frac{-3sin(x)-sin^3(x) -2sinxcos^2x}{(3+sin^2x)^2}[/tex]
Or comme [tex]cos^2x+sin^2x=1, cos^2x=1-sin^2x[/tex]
et[tex]\ -3sin(x)-sin^3(x) -2sinxcos^2x = -3sinx-sin^3x-2sinx+2sin^3[/tex]
[tex]= sin^3x-5sinx = sinx(sin^2x-5)[/tex] donc
[tex]f'(x) = \frac{sinx(sin^2x-5)}{(3+sin^2x)^2}[/tex]
sinx > 0 pour 0 < x < π
[tex]sin^2x < 1[/tex]
[tex]sin^2x - 5 < 0[/tex] donc f est décroissante sur [0;π]
f(0) = 1/3
f(π) = -1/3
5)
comme f est paire, elle est croissante sur [-π;0]
