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résolu

Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour un exercice de mathématiques de niveau première sur les suites merci d'avance pour votre aide !


Une suite homographique:

On considère une suite u définie sur N par U0=3, et pour tout entier n, Un+1=2:(1+Un)


1) A l'aide de la calculatrice, conjecturer le sens de variation de cette suite et sa limite éventuelle.


2)Calculer U1 et U2. Cette suite est-elle arithmétique ou géométrique ? Justifier.


3) On admet que U est positive et on considère la suite V définie sur N par:

Vn=1-((3):(Un+2)) (*)


A. Calculer les premiers termes de v puis conjecturer la nature de la suite v. Démontrer cette conjecture.


B. En déduire une expression de Vn en fonction de n.


C. Justifier que pour tout n dans N

Un=((3):(1-Vn))-2


En déduire une expression de Un en fonction de n. Justifier alors que u est bien une suite convergente.

J'ai trouvé que:
1) U est une suite alternée et qu'elle a une limite éventuelle en 1
2) U n'est ni géométrique ni arithmétique
et 3) Je ne comprend pas comment faire ???

Merci d'avance pour le temps que vous me consacrer et la réponse que vous allez me fournir

Répondre :

Bonjour,

pour les 2 premières questions je suis d'accord avec toi. Fais juste attention à bien justifier.

3) A.

V0 = 1-3/(U0+2) = 1-3/(3+2) = 1-3/5 = 2/5

V1 = 1-3/(1/2+2) = -1/5

V2 = 1-3/(4/3+2) = 1/10

Conjecture : Vn est une suite géométrique de raison -1/2 et de 1er terme 2/5.

Démo :

V(n+1) = 1-3/(U(n+1)+2) = 1-3/((2/(1+U(n))+2) = 1-3*(1+U(n))/(4+2*U(n)) = 1-3*(1+U(n))/(2(U(n)+2)) = (-1/2)*V(n)

B. V(n) = V(0)*(-1/2)^n = (2/5)*(-1/2)^n

C. V(n) = 1-3/(U(n)+2) ⇔ 1-V(n) = 3/(U(n)+2)

                                 ⇔ (1-V(n))(U(n)+2) = 3

                                 ⇔ U(n)+2 = 3/(1-V(n))

                                 ⇔ U(n) = 3/(1-V(n))-2

Donc U(n) = 3/(1-((2/5)*(-1/2)^n))-2

lim(-1/2)^n = 0

lim(2/5)*(-1/2)^n = 0

lim 1-((2/5)*(-1/2)^n) = 1

lim 3/(1-((2/5)*(-1/2)^n)) = 3

lim U(n) = 1

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