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résolu

BESOIN D'AIDE !! Bonjour est ce que vous pourriez m'aider à un de mes exercices de maths. S'il vous plaît
Suite à une augmentation du nombre de personnes malades dans un village, une organisation à mis en place une campagne de vaccination en janvier 2017. On modélise le pourcentage de personnes malades en fonction du temps t, exprimé en mois, écoulé depuis janvier 2017, par la fonction p, définie et dévale sur l'intervalle [0;25] par :-0,2t au carré +4t+25.
1. Calculer la fonction dérivée de la fonction p et étudier son signe sur l'intervalle [0;25].
2. Dresser le tableau de variation de la fonction p sur l'intervalle [0;25].
3. Quel était le pourcentage de malades au début de l'étude.
4. Quel à été le pourcentage maximum de malades durant l'épidémie.
5. Déterminer l'année et le mois durant lesquels la maladie aura disparu du village.
Merci pour votre aide !

Répondre :

ISAPAULGO

Bonjour,

p(t) = -0.2t² + 4t + 25   définie sur [0 ; 25 ]        

où "p" représente le % de personnes malades depuis Janvier 2017

et "t" le nombre de mois écoulé depuis Janvier 2017

1) dérivée  p'(t) = -0.4t + 4

p'(t) > 0     pour t < 10

p'(t)  = 0    pour t = 10

p'(t) < 0     pour t > 10

2) tableau de variation

t                  0                      10                             25

p'(t)                  positive       0    négative

p(t)                  croissante   max  décroiss.

3)

p(0) = 25  ⇒   25 % personnes malades au début de l'étude en Janvier 2017  

4)Maximum atteint pour p'(t) = 0  ⇒   t = 10    ( mois de Novembre 2017 )  

p(10) = 45    ⇒45 % personnes malades

5) p(t) = 0  

-0.2t² + 4t + 25 = 0    de la forme de ax² + bx + c

discriminant Δ = b² - 4ac = 36  

deux solutions mais une seule est positive donc

t = (-b - √Δ) / 2a = 25      

qui correspond au mois de  Février 2019   ( VICTOIRE sur la maladie !!! )

Bonne journée

       

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