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résolu

S'IL VOUS PLAIT, A RENDRE POUR DEMAIN !!!!!
Je suis (littéralement) à bout donc j'espère vraiment qu'il y a une âme charitable par là.
Voici l'exercice donné :
1°) Quelle est la fonction dérivée de la fonction logarithme (notée ln) sur ]0 ; +∞[ ? Justifier le sens de variation de cette fonction sur son ensemble de définition.
2°) On sait que ln2 ≈ 0,693 et que ln7 ≈ 1,946 .
Sans utiliser de calculatrice précisez si l'équation ln x =1,5 admet une solution dans l'intervalle [2;7] et justifiez votre réponse.
3°) Déterminez le plus petit entier n tel que (1,025)n > 2, en résolvant l’inéquation.

Ce que j'ai fait :
1) ln'(x) = 1/X. Elle est comprise en 0 et l'infini et 0 est non compris. C'est pourquoi elle sera strictement positive et donc croissante
2) Si x > 0 on a
Ln a = b ==> a = e (exposant) b
alors Ln x = 1,5 ==> x = e (exposant) 1,5
Pour le 3) je sèche…
J'espère vraiment que vous pourrez m'aider, ceci dit je comprendrais si vous ne vouliez pas..

Répondre :

TOMMUSGO

Réponse :

1) [tex](ln(x))'=\dfrac{1}{x}[/tex]. Puisque [tex]x \in ]0;+ \infty[[/tex], alors [tex]\dfrac{1}{x} >0[/tex], ce qui montre que la fonction ln est strictement croissante sur [tex]]0;+\infty[[/tex].

2) Par ce qui précède, ln est une fonction strictement croissante et elle est continue sur son ensemble de définition, donc sur [2;7]. De plus, ln(2) < 1,5 < ln(7). Par le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe [tex]\alpha \in [2;7][/tex] tel que [tex]ln(\alpha )=1,5[/tex].

3)

[tex](1,025)^n>2\\\iff ln(1,025^n) > ln(2)\\\iff nln(1,025)>ln(2)\\\iff n > \dfrac{ln(2)}{ln(1,025)} \\\iff n > 28,07[/tex]

Le plus petit entier n cherché est donc 29.

On utilise :

  • La stricte croissance de ln pour la 2ème ligne
  • ln(x^n) = nln(x) pour la deuxième ligne
  • ln(1,025)>0 car ln(1,025)>ln(1)=0 et ln strictement croissante
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