Réponse :
1) démontrer que le triangle ABC est rectangle
AB² = (- 4+2)²+(3+1)² = 4 + 16 = 20
BC² = (2+4)²+(6-3)² = 36+9 = 45
AC² = (2+2)²+ (6+1)² = 16+49 = 65
on a AB²+ BC² = 20 + 45 = 65 , donc AB²+BC² = AC², on en déduit d'après la réciproque du th.Pythagore que le triangle ABC est rectangle en B
2) on appelle D le symétrique du point B par rapport au milieu du segment AC
soit M milieu du segment (AC) donc M(0 ; 5/2)
D(x ; y) symétrique du point B par rapport à M ⇔ vec(BM) = vec(MD)
vec(BM) = (0+4 ; 2.5 - 3) = (4 ; - 0.5)
vec(MD) = (x ; y - 2.5)
⇔ (x ; y - 2.5) = (4 ; - 0.5) ⇔ x = 4 et y - 2.5 = - 0.5 ⇔ y = - 0.5+2.5 = 2
D(4 ; 2)
ABCD est un parallélogramme car les diagonales AC et BD se coupent au même milieu M
de plus ABCD possède un angle droit en B
donc ABCD est un rectangle
3) calculer l'aire du triangle ABC
A = 1/2)(√20 x √45) = 1/2)(2√5 x 3√5) = 3√5² = 15
4) à l'aide de l'aire du triangle ABC, en déduire la longueur BH
A = 1/2)(BH x AC) = 15 ⇔ BH x AC = 30 ⇔ BH = 30/√65
⇔ BH = (30√65)/65 ⇔ BH = (6√65)/13
5) calculer alors la longueur CH
BCH triangle rectangle en H, donc d'après le th.Pythagore
CH² = BC² - BH² = 45 - (6√65/13)² = 45 - 14 = 31
CH = √31 ≈ 5.6
Explications étape par étape