Réponse : Bonjour,
Comme [tex]M \in (d)[/tex], alors [tex]M(x; 3x+4)[/tex], donc:
[tex]AM=\sqrt{(x-2)^{2}+(3x+4-3)^{2}}=\sqrt{(x-2)^{2}+(3x+1)^{2}}\\AM=\sqrt{x^{2}-4x+4+9x^{2}+6x+1}=\sqrt{10x^{2}+2x+5}[/tex]
On note f(x)=[tex]\sqrt{10x^{2}+2x+5}[/tex].
Vérifions que f, est définie pour tout [tex]x \in \mathbb{R}[/tex], en montrant que [tex]10x^{2}+2x+5 \geq 0[/tex], pour tout [tex]x \in \mathbb{R}[/tex].
On calcule le discriminant:
[tex]\Delta=2^{2}-4 \times 10 \times 5=4-200=-196 < 0[/tex]
Comme le discriminant [tex]\Delta < 0[/tex], le trinôme [tex]10x^{2}+2x+5[/tex], est du signe de 10, donc positif pour tout [tex]x \in \mathbb{R}[/tex].
Par suite, f est définie sur [tex]\mathbb{R}[/tex].
Etudions les variations de f, en calculant sa dérivée f':
[tex]\displaystyle f'(x)=\frac{20x+2}{2\sqrt{10x^{2}+2x+5}}[/tex]
Le dénominateur [tex]2\sqrt{10x^{2}+2x+5} > 0[/tex], donc f'(x) est du signe du numérateur 20x+2.
On résout l'inéquation [tex]20x+2 \geq 0[/tex]:
[tex]\displaystyle 20x+2 \geq 0\\20x \geq -2\\x \geq -\frac{2}{20} \\x \geq -\frac{1}{10}[/tex]
On obtient le tableau suivant:
x -∞ [tex]\displaystyle -\frac{1}{10}[/tex] +∞
f'(x) - Ф +
f(x) (décroissante) (croissante)
Au vu du tableau précédent, le minimum de f est atteint en [tex]\displaystyle x=-\frac{1}{10}[/tex], et le positionnement du point M sur la droite (d), telle que la distance AM soit minimale est [tex]\displaystyle M\left(-\frac{1}{10}; 3 \times \left(-\frac{1}{10}\right)+4 \right)[/tex].
Calculons l'image de M dans ce cas:
[tex]\displaystyle 3 \times \left(-\frac{1}{10}\right)+4=-\frac{3}{10}+4=\frac{-3+40}{10}=\frac{37}{10}[/tex]
Donc la distance AM est minimale quand [tex]\displaystyle M\left(-\frac{1}{10}; \frac{37}{10}\right)[/tex].
Et la distance AM correspondante est [tex]\displaystyle f\left(-\frac{1}{10}\right)[/tex]:
[tex]\displaystyle f\left(-\frac{1}{10}\right)=\sqrt{10 \times \left(-\frac{1}{10}\right)^{2}+2 \times -\frac{1}{10}+5}=\sqrt{10 \times \frac{1}{100}-\frac{2}{10}+5}\\=\sqrt{\frac{1}{10}-\frac{2}{10}+5}=\sqrt{-\frac{1}{10}+5}=\sqrt{\frac{-1+50}{10}}=\sqrt{\frac{49}{10}}=\frac{7}{\sqrt{10}}=\frac{7\sqrt{10}}{10}[/tex]
Donc la distance AM minimale est égale à [tex]\displaystyle \frac{7\sqrt{10}}{10}[/tex].
