Réponse :
[tex]a) U_1 = \frac{1}{3} U_0 - 2\\U_1 = - \frac{1}{3} - 2\\\\U_1 = -\frac{7}{3} \\\\\\\\U_2 = \frac{1}{3} U_1 - 2\\\\\\U_2=\frac{1}{3} \times( -\frac{7}{3} )- 2\\\\\\U_2=-\frac{25}{9}[/tex]
[tex]U_1-U_0 = -\frac{7}{3} +1 = -\frac{4}{3} \\U_2 - U_1 = -\frac{25}{9} +\frac{7}{3}=-\frac{4}{9} \\U_1-U_0 \neq U_2 - U_1[/tex]
la suite (Un) n'est pas arithmétique.
[tex]\frac{U_1}{U_0} =\frac{7}{3} \\\frac{U_2}{U_1} = \frac{25}{21} \\\\\frac{U_1}{U_0} \neq \frac{U_2}{U_1}[/tex]
La suite (Un) n'est pas géométrique.
b)
[tex]V_{n+1} = U_{n+1} +3\\\\V_{n+1} = \frac{1}{3}U_n-2 +3\\\\V_{n+1} = \frac{1}{3}U_n +1\\\\[/tex]
En factorisant par 1/3 on a
[tex]V_{n+1} = \frac{1}{3}(U_n +3)\\\\\\V_{n+1} = \frac{1}{3}V_n\\[/tex]
Ainsi la suite (Vn) est géométrique de raison 1/3 et de terme initial
[tex]V_0=U_0+3\\V_0=2[/tex]
c)
[tex]V_n = V_0 \times q^n\\V_n = 2 \times (\frac{1}{3} )^n\\V_n = \frac{2}{3^n}[/tex]
pour tout entier naturel n.
[tex]U_n = V_n - 3\\U_n = \frac{2}{3^n} -3[/tex]
pour tout entier naturel n.
d)
[tex]V_0+V_1+V_2+...+V_{10}= V_0 \times\frac{1-q^{11}}{1-q} \\\\V_0+V_1+V_2+...+V_{10}= 2 \times\frac{1-(\frac{1}{3} )^{11}}{1-\frac{1}{3} } \\V_0+V_1+V_2+...+V_{10}= 3-3^{-10}\\V_0+V_1+V_2+...+V_{10} \approx 2,999983[/tex]
[tex]U_0+U_1+U_2+...+U_{10} = V_0-3+V_1-3+V_2-3+...+V_{10}-3\\\\U_0+U_1+U_2+...+U_{10} = V_0+V_1+V_2+...+V_{10}-11\times3\\U_0+U_1+U_2+...+U_{10} = 3-3^{-10}-33\\U_0+U_1+U_2+...+U_{10} = -30-3^{-10}\\\\U_0+U_1+U_2+...+U_{10} \approx -30[/tex]
