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résolu

J'ai un exo de 1er à rendre en Math mais j'avoue que je suis perdue ....j'ai réussi à faire les deux premiers points mais après c'est flou.

-Deux résistances de valeurs respectives R1et R2 ohms branchées en parallèle ont une résistance équivalente R vérifiant 1/R =1/R1 + 1/R2
On considère un circuit électrique formé de deux résistances en parallèle de valeurs respectives R1= 10-x et R2=2x+1 ohms où x est un réel compris entre 0 et 10.
1)Montrer que le circuit a une résistance équivalente Rx=-2xˆ2+19x+10/x+11
2)Vous allez déterminer la valeur de x pour que la résistance équivalente soit la plus grande possible.
3) Décrivez en quelques phrases à quel type de problème étudié dans le cours
cette question fait référence et comment le résoudre concrètement à partir de la fonction R trouvée dans la question précédente.
4)Montrer que pour tout x de [0;10], R'x=-2xˆ2-44x+199/(x+11)ˆ2
5)Étudier le signe de -2ˆ2-44x+199sur l'intervalle [0;10] (on pourra utiliser le calcul du discriminant)
6)En déduire le tableau de variations de R et conclure sur la question posée en proposant une valeur approchée au centième de la valeur de x puis une valeur approchée de la valeur maximale de R .

Répondre :

Réponse :

bonsoir, La résistance équivalente d'un montage en // est Req=(R1*R2)/(R1+R2)

on donne R1=10-x et R2=2x+1 avec 0<x<10

Explications étape par étape

R(x)=(10-x)(2x+1)/(10-x+2x+1)=(-2x²+19x+10)/(x+11)

2)valeurs aux bornes

si x=0 R(x)=10/11 et si x tend vers 10, R1 tend vers 0 et on crée un court-circuit car R(x)=0 la valeur x=10 ohms est à proscrire. Dans le montage R1 est une résistance variable.

Etude de la fonction R(x)sur [0;10]

dérivée R'(x) :  R(x) est de la forme u/v sa dérivée est donc (u'v-v'u)/v²

avec u=-2x²+19x+10   u'=-4x+19  et v=x+11   v'=1

on remplace développe et réduit le numérateur pour arriver à

R'(x)=( -2x²-44x+199)/(x+11)² (réponse donnée dans l'énoncé)

on note que le signe de R'(x) dépend uniquement du signe de -2x²-44x+199

On résout -2x²-44x+199=0 via delta et on trouve deux solutions

une <0 (à éliminer) et l'autre x1=(44-V3528)/(-4)= 3,85 (environ)

Avec ces calculs on dresse le tableau de signes de R'(x) et de variations de R(x)

x      0                          3,85                         10

R'(x)...........+.......................0.....................-.............

R(x).10/11.....croi..........R(3,85).........décroi.........0

Calcule R(3,85) pour déterminer la valeur maximale de la résistance équivalente.

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