Bonjour ! ;)
Réponse :
Exercice 27 :
a) f (x) = x³ - 3x² + x - 1
(1) [tex]\lim_{x \to +\infty} f(x)[/tex] est une forme indéterminée de la forme " ∞ - ∞ " !
Mais sachant que la limite d'un polynôme en l'infini est la même que celle de son terme de plus haut degré, on en déduit que [tex]\lim_{x \to +\infty} f(x)[/tex] = [tex]\lim_{x \to +\infty} (x^3)[/tex] = + ∞.
(2) [tex]\lim_{x \to -\infty} f(x)[/tex] = - ∞ puisqu'en effet, [tex]\lim_{x \to -\infty} (x^3)[/tex] = - ∞
[tex]\lim_{x \to -\infty} (-3x^2)[/tex] = - ∞
[tex]\lim_{x \to -\infty} (x)[/tex] = - ∞
Donc, la somme tend bien vers - ∞ !
b) f (x) = x³ - 3x² + x - 1
⇒ f ' (x) = 3x² - 6x + 1
Résolvons : 3x² - 6x + 1 = 0 ( ici, a = 3 ; b = - 6 et c = 1 ! )
- Calculons tout d'abord le discriminant associé à cette équation :
Δ = b² - 4 * a * c
⇒ Δ = (- 6)² - 4 * 3 * 1
⇒ Δ = 24
- Comme Δ > 0, on en déduit que l'équation admet deux racines réelles distinctes :
x₁ = [tex]\frac{-b-\sqrt{delta} }{2*a}[/tex] ou x₂ = [tex]\frac{-b+\sqrt{delta} }{2*a}[/tex]
⇒ x₁ = [tex]\frac{-(-6)-\sqrt{24} }{2*3}[/tex] ou x₂ = [tex]\frac{-(-6)+\sqrt{24} }{2*3}[/tex]
⇒ x₁ = [tex]\frac{3-\sqrt{6} }{3}[/tex] ou x₂ = [tex]\frac{3+\sqrt{6} }{3}[/tex]
Nous pouvons maintenant dresser le tableau de signes de f ' (x) :
Voir pièce jointe ! ;)
