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ADAMBARTGO
résolu

Bonjour, j'ai besoin d'aide svp...

1. On considère la suite u définie par U0 = 1 et, pour tout n ∈ N, Un+1 = 2Un + 1.
(a) Pour tout n ∈ N, on pose Vn = Un + 1. Montrez que la suite V est une suite
géométrique.
(b) Déduisez-en le terme général de la suite un.
2. En vous inspirant du raisonnement précédent, déterminez le terme général de la suite a définie par A0 = −1 et, pour tout n ∈ N, An+1 = −3An + 4. On posera,
pour tout n ∈ N, Bn = An − 1.

Répondre :

Réponse :

U0 = 1 et pour tout n ∈ N;  Un+1 = 2Un + 1

(a) pour tout n ∈ N;  on pose Vn = Un  + 1

montrez que la suite V est une suite géométrique

Vn+1 = Un+1   + 1  = 2Un  + 1 + 1 = 2Un + 2

Vn+1/Vn = (2Un + 2)/(Un + 1) = 2(Un + 1)/(Un  + 1) = 2

Donc  la suite V est une suite géométrique de premier terme V0 = 2 et de raison  q = 2

(b) déduisez-en le terme général de la suite Un

   Vn+ 1 = 2Vn  ⇔ Vn = V0 x qⁿ  ⇔ Vn = 2 x 2ⁿ = 2ⁿ⁺¹

Vn = Un + 1  ⇔ Un = Vn  - 1  ⇔ Un = 2ⁿ⁺¹ - 1

2) en vous inspirant du raisonnement précédent, déterminer le terme général de la suite A définie par A0 = - 1 et pour tout n ∈ N, An+1 = -3An+4

pour tout n ∈ N,  Bn = An  - 1

Bn+1 = An+1 - 1  = - 3An  + 4 - 1 = - 3An  + 3

Bn+1/Bn = (- 3An + 3)/(An - 1) = - 3(An - 1)/(An - 1) = - 3

donc B est une suite géométrique de premier terme B0 = - 2  et de raison q = - 3

donc Bn = B0 x qⁿ = - 2 x (-3)ⁿ

Bn = An  - 1   ⇔ An = Bn  + 1  ⇔ An = - 2(- 3)ⁿ + 1    

Explications étape par étape

CROISIERFAMILYGO

Réponse :

Explications étape par étape :

■ tableau-réponse :

rang n -->  0    1      2         3         4         5        6        7

     Un -->  1     3      7        15       31        63     127    255

     Vn --> 2     4      8        16       32       64     128    256

■ (Vn) est donc une suite géométrique

  de terme initial Vo = 2 et de raison q = 2 .

  formule : Vn = 2 x 2puissance(n) = 2puiss(n+1)   ♥

  démonstration :

  Vn+1 = Un+1 + 1 = 2Un + 1 + 1 = 2Un + 2 = 2(Un + 1) = 2 Vn

■ conclusion : Un = Vn - 1 = 2puissance(n+1) - 1   ♥

■ application à Ao = -1 ; An+1 = -3An + 4 :

  Bn = An - 1

  Bn+1 = An+1 - 1 = -3An + 4 - 1 = -3An + 3 = -3(An - 1) = -3 Bn

  donc (Bn) est une suite géom de terme initial -2

                                                       et de raison r = -3

  formule : Bn = (-2) x (-3)puissance(n)

  tableau :

   rang -->   0       1       2          3           4        

      Bn -->  -2       6    -18        54        -162

      An -->  -1        7    -17         55       -161

   conclusion : An = 1 + (-2) x (-3)puiss(n)   ♥

   

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