Réponse :
1) l'entreprise A
a) la production en 2006 est de : 11 000 + 11 000 x 0.3 = 11 000 x (1+0.03)
= 11 000 x 1.03 = 11330 pièces
la production en 2007 est de : 11330 x 1.03 = 11669.9 ≈ 11670 pièces
b) exprimer en fonction de n, la production Pn
Pn = 11 000 x (1.03)ⁿ ( 0 ≤ n ≤ 15)
quelle sera la production en 2020
P₁₅ = 11 000 x (1.03)¹⁵ ≈ 17137.64 pièces ≈ 17138 pièces l'arrondi à l'unité
c) quel est le pourcentage d'augmentation de la production de 2005 à 2020 (résultat arrondi à 0.1 près)
[(17137.64 - 11 000)/11000] x 100 ≈ 55.8 % l'arrondi à 0.1 près
2) l'entreprise B
a) exprimer en fonction de n, la production P'n
P'n = 9000 x (1.05)ⁿ
b) quelle sera la production en 2020 ?
P'₁₅ = 9000 x (1.05)¹⁵ ≈ 18710 arrondi à l'unité
c) déterminer l'entier n, tel que l'année 2005 + n la production de l'entreprise B dépasse pour la première fois la production de l'entreprise A
on écrit P'n > Pn ⇔ 9000 x (1.05)ⁿ > 11 000 x (1.03)ⁿ
⇔ (1.05)ⁿ/(1.03)ⁿ > 11 000/9000 ⇔ (1.05/1.03)ⁿ > 11/9
⇔ ln (1.05/1.03)ⁿ > ln (11/9) ⇔ nln (1.05/1.03) > ln(11/9)
⇔ n > ln(11/9)/ln(1.05/1.03) ⇔ n > 0.20067/0.01923 ⇔ n > 10.435
soit pour n = 11 ; la production de l'entreprise B dépasse pour la première fois la production de l'entreprise A
Explications étape par étape