Réponse :
Explications étape par étape
■ f(x) = x / √(x²+4) sur IR
■ f ' (x) = [ √(x²+4) - 0,5x.2x/√(x²+4) ] / (x²+4)
= [ (x²+4-x²) / √(x²+4) ] / (x²+4)
= 4 / [ √(x²+4) ]puissance(1,5)
toujours positive donc
la fonction f est toujours croissante !
■ f ' (0) = 4 / [ 2puiss1,5 ] = 4 / 2√2 = 2 / √2 = √2
d' où l' équation de la tangente au point (0;0) :
y = x√2
la tangente passe par le point (√2 ; 2 )
■ f(-x) = -x / √(x²+4) = - f(x) donc f est bien impaire !
■ remarque sur les limites à l' infini :
Lim f(x) pour x tendant vers +∞ = Lim x / √x² = 1
Lim f(x) pour x tendant vers -√(x²+4) = -1
■ tableau de variation et de valeurs :
x --> -∞ -10 -1 0 1 √2 10 +∞
variation -> toujours croissante
f(x) -> -1 -0,98 -0,45 0 0,45 0,58 0,98 1
■ remarque sur la représentation graphique de f :
la courbe est comprise entre les deux asymptotes horizontales
d' équations y = -1 et y = +1 ; et présente une symétrie
par rapport à l' origine ( car f est impaire ! )
