Réponse :
1. Il faut juste montrer que H est stable par *. C'est à dire montrer que si x et y sont différents de -1/a alors x*y l'est aussi.
Alors pour ça on va supposer que x*y = -1/a et montrer que dans ce cas on a soit x = -1/a soit y = -1/a. Soit x+y+axy = -1/a, soit 0 = x+y+axy - 1/a. On peut par exemple multiplier tout le monde par a pour avoir les idées plus claires :
0 = ax+ay + a²xy + 1 = (ax+1)(ay+1) si on factorise. Je te laisse conclure...
2. Il te reste à montrer que ta loi est associative, commutative, qu'elle a un élément neutre et que tous les éléments sont inversibles.
La commutativité est assez immédiate.
Pour l'associativité, je te laisse montrer que (x*y)*z = x*(y*z) = x+y+z + a(xy + xz+yz) + a²xyz
Reste le plus intéressant, l'élément neutre. Facile à trouver, il vérifie x = x*x, donc x = x+x+ax² soit 0 = x+ax², soit x = 0 ou x= -1/a. Je te laisse conclure.
Maintenant on va montrer qu'un élément y est inversible. Pour cela soit y dans Ha et montrons que l'équation en x x+y+axy = 0 admet une solution. C'est bien le cas : ceci équivaut à -y = x (1+ay) puis x = -y/(1+ay). Conclusion ?
Explications étape par étape
