Bonjour,
1) - Si x=0 ou y=0, le résultat est évident.
- Sinon, x et y sont tous les deux racines du polynôme [tex]X^2-X+xy[/tex], puisque :
[tex]x+y=1 \iff \frac{xy}{y}+y=1 \iff xy+y^2=y \iff y^2-y+xy=0[/tex] et de même pour x.
Calculons le discriminant de ce polynôme : [tex]\Delta=1-4xy[/tex].
Puisque ce polynôme admet au moins une racine réelle (x ou y), [tex]\Delta \ge 0[/tex] soit [tex]\boxed{xy\le\frac{1}{4}}[/tex].
Rq : Contrairement à ce que demande l'énoncé, on ne peut avoir une inégalité stricte dans le cas général. Il suffit de prendre x=y=1/2 pour s'en convaincre.
L'inégalité stricte est vraie ssi [tex]x \not=y[/tex] car alors le polynôme admet deux racines distinctes réelles, donc son discriminant est >0.
De plus : [tex](x+y)^2=1=x^2+y^2+2xy[/tex] donc [tex]x^2+y^2 =1-2xy \ge 1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}[/tex] donc [tex]\boxed{x^2+y^2 \ge \frac{1}{2}}[/tex].
Rq : L'inégalité n'est toujours pas stricte pour les mêmes raisons.
2) On a : [tex]y=1-x[/tex].
Or : [tex]2 \le x \le 3 \iff -3 \le -x \le -2 \iff -2 \le 1-x \le -1[/tex]
d'où : [tex]\boxed{y \in [-2,-1]}[/tex].
Alors : [tex]\boxed{-6\le xy\le -2}[/tex].
