Bonsoir,
Pour appliquer la méthode de newton, tu dois créer une suite qui converge vers la solution.
Si tu cherches la solution approchée d'une fonction du type g(x) = ax² + bx + c = 0, par exemple, alors ta suite est de la forme [tex]x_{k+1} = x_k - \frac{g(x_k)}{g'(x_k)} = x_k - \frac{ax^2+bx+c}{2ax+b}[/tex].
Dans le cas de ton exercice on étudie donc la suite [tex]f: x \mapsto x^4 + x - 4[/tex]
On obtient donc la suite suivante:
[tex]x_{k+1} = x_k - \frac{x^4 + x - 4}{4x_k^3+1}[/tex] avec [tex]x_0 = 1[/tex]
On peut donc calculer:
[tex]\boxed{x_1 = 1 - \frac{1+1-4}{4+1} = \frac{7}{5}}[/tex]
Si on injecte [tex]x_1[/tex] dans l'équation on se rencontre que cette valeur est très mal approchée: [tex]x_1^4 + x_1 = 5,2416[/tex]
Par contre si on continue:
[tex]x_2 \simeq 1,296\\\\x_2^4 + x_2 \simeq 4,117\\\\x_3 \simeq 1,284\\\\x_3^4 + x_3 \simeq 4,002[/tex]
Ici on voit bien qu'on se rapproche de la bonne valeur est particulièrement rapidement ce qui est exceptionnel.
J'espère que tu as compris globalement la méthode. C'est une méthode qu'on utilise en physique essentiellement et en supérieur on doit être capable de faire un programme permettant d'appliquer cette méthode.
Bonne soirée,
Thomas
