Bonjour,
[tex]Hr = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} ... + \frac{1}{2n} < \frac{n}{2} [/tex]
initialisation : pour n = 1
[tex] \frac{1}{2} \leqslant \frac{1}{2} [/tex]
La propriété est vraie au rang 1
Hérédité : Supposons que pour un rang n donné Pn est vrai, Montrons que le rang Pn+1 l'est aussi :
[tex] \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{2n} \leqslant \frac{n}{2} [/tex]
[tex] \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{2n} + \frac{1}{2n + 2} \leqslant \frac{n}{2} + \frac{1}{2n + 2} [/tex]
[tex] \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{2n} + \frac{1}{2n + 2} \leqslant \frac{n}{2} + \frac{1}{2(n + 1)} [/tex]
Or sur N* on sait que :
[tex] \frac{n}{2} + \frac{1}{2n + 2} = \frac{n}{2} + \frac{1}{2(n + 1)} \leqslant \frac{n}{2} + \frac{1}{2} = \frac{n + 1}{2} [/tex]
Ainsi on a donc :
[tex] \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{2n} + \frac{1}{2n + 2} \leqslant \frac{n}{2} + \frac{1}{2(n + 1)} \leqslant \frac{n + 1}{2} [/tex]
On en déduit ainsi que :
[tex] \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{2n} + \frac{1}{2n + 2} \leqslant \frac{n + 1}{2} [/tex]
Conclusion : P1 => Vraie et Pn => Pn+1
La propriété est vraie pour tout rang n
