Réponse : Bonjour,
a) i) Soient a et b deux réels de l'intervalle [0;2], tel que [tex]a \leq b[/tex].
Alors [tex]a-b \leq 0[/tex], et [tex]ab \geq 0[/tex].
Comme:
[tex]\displaystyle \frac{f(a)-f(b)}{a-b}=1-\frac{4}{ab}=\frac{ab-4}{ab}[/tex]
Comme [tex]a, b \in [0;2][/tex], alors nécessairement [tex]ab \leq 4[/tex], donc [tex]ab-4 \leq 0[/tex].
On en déduit que [tex]\displaystyle \frac{ab-4}{ab} \leq 0[/tex] , d'où [tex]\displaystyle 1-\frac{4}{ab} \leq 0[/tex] , et enfin [tex]\displaystyle \frac{f(a)-f(b)}{a-b} \leq 0[/tex] .
Comme [tex]a-b \leq 0[/tex], alors nécessairement [tex]f(a)-f(b) \geq 0[/tex], et donc [tex]f(a) \geq f(b)[/tex].
Comme on a pris a et b tels que [tex]a \leq b[/tex], et que l'on a [tex]f(a) \geq f(b)[/tex], alors on en déduit que f est décroissante sur l'intervalle [0;2].
ii) Soient a et b deux réels de l'intervalle [2;+∞[, tel que [tex]a \leq b[/tex].
On procède de la même manière que précédemment et cette fois-ci, comme [tex]a, b \in [2;+\infty[[/tex], on en déduit que [tex]ab-4 \geq 0[/tex].
Donc [tex]\displaystyle \frac{ab-4}{ab} \geq 0[/tex] , donc [tex]\displaystyle \frac{f(a)-f(b)}{a-b} \geq 0[/tex] , et donc [tex]f(a)-f(b) \leq 0[/tex], d'où [tex]f(a) \leq f(b)[/tex].
Donc f est croissante sur l'intervalle [tex][2; +\infty[[/tex].
iii) Soient a et b de l'intervalle [-2; 0], tels que [tex]a \leq b[/tex].
On a donc que [tex]0 \leq ab \leq 4[/tex], donc [tex]ab-4 \leq 0[/tex].
On en déduit que [tex]\displaystyle \frac{ab-4}{ab} \leq 0[/tex] , et donc que [tex]\displaystyle \frac{f(a)-f(b)}{a-b} \leq 0[/tex] , et que [tex]f(a)-f(b) \geq 0[/tex], d'où [tex]f(a) \geq f(b)[/tex].
On en déduit que f est décroissante sur l'intervalle [-2; 0].
iv) Enfin, soient a et b appartenant à l'intervalle ]-∞; 2], tels que [tex]a \leq b[/tex].
Alors [tex]ab \geq 4[/tex], et donc [tex]ab-4 \geq 0[/tex].
On en déduit que [tex]\displaystyle \frac{ab-4}{ab} \geq 0[/tex] , et donc que [tex]\displaystyle \frac{f(a)-f(b)}{a-b} \geq 0[/tex] .
On en déduit que [tex]f(a)-f(b) \leq 0[/tex], d'où [tex]f(a) \leq f(b)[/tex].
Donc f est croissante sur l'intervalle ]-∞; 2].
