Réponse :
a) exprime l'aire des carrés AMCD et MBEF en fonction de x
A(amcd) = x²
A(mbef) = (10 - x)² = 100 - 20 x + x²
b) prouver que la somme des aires des 2 carrés est f(x) = 2 x²-20 x+100
A(amcd) + A(mbef) = x² + 100 - 20 x + x²
= 2 x² - 20 x + 100
c) exprimer f sous la forme canonique
f(x) = 2 x² - 20 x + 100
= 2( x² - 10 x + 50)
= 2(x² - 10 x + 50 + 25 - 25)
= 2(x² - 10 x + 25 + 25)
= 2((x - 5)² + 25)
d'où f(x) = 2(x - 5)² + 50
d) en déduire la position du point M pour que la somme des aires des deux carrés soit minimum
le sommet S(5 ; 25) représente le minimum de la fonction f
donc pour x = 5 la fonction f a pour minimum 25
donc la position du point M est à 5 m du point A
2) obtient-on un résultat analogue en calculant le minimum de la somme des aires de deux disques de diamètres respectifs (AM) et (MB) ?
A1 = π x²/4
A2 = π(10 - x)²/4
................................
A1+A2 = π x²/4 + (π(10 - x)²/4 = π/4)(x² + 100 - 20 x + x²) = π/4(2 x² - 20 x + 100) = 2π/4((x - 5)² + 25)
= π/2(x - 5)² + 39.25
on obtient la même position du point M qui est situé à 5 m du point A mais donnant un mimimum de f de 39.25
3) démontrer que la somme des aires du carré et du disque est minimum lorsque le rayon du disque est égal à AM = 5
Acarré = x² = 25
Adisque = π(10 - 5)²/4 = π/4)(100 - 20* 5 + 25)
.....................................................
Acarré + Adisque = 25 + π/4)* 25 - (π/4)* 20* 5 + (π/4)* 100 ≈ 30
Explications étape par étape
