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résolu

Bonjour j’ai un DM à rendre pour demain, pouvez vous m’aider s’il vous plaît?

On considère la suite (un) définie sur N par: uo = 10 et un+1 = 0,75un +2
1) Compléter à l'aide de la calculatrice le tableau suivant (on donnera des valeurs arrondies à 10 puissance 3
près)
0 - 10
2 ?
3 ?
5 ?
5 ?
7 ?
10 ?
15 ?

2) On considère la suite (un) définie sur N par : Vn = un-8.
Montrer que (vn)est une suite géométrique, préciser la raison et le premier terme.
3) Exprimer vn en fonction de n, puis un en fonction de n.
4) Question facultative : quelle est la limite de la suite (un) ? (justifier)

Exercice 2 : Soit la suite (un) définie pour tout n e N*par : un=4-1/n
1) Pour tout n différent 0, calculer (en fonction de n): un+1-un
2) Montrer que la suite (un) est croissante.

Répondre :

Réponse :

2) U0 = 10  et Un+1 = 0.75Un + 2

Vn = Un - 8

montrer que (Vn) est une suite géométrique, préciser la raison et le premier terme

 Vn+1/Vn = (Un+1  - 8)/(Un - 8)

                = (0.75Un + 2  - 8)/(Un - 8)

                = (0.75Un - 6)/(Un - 8)

                = 0.75(Un - 8)/(Un - 8)

     donc   Vn+1/Vn = 0.75    (Un) est une suite géométrique de raison q = 0.75 et de premier terme V0 = U0 - 8 = 10 - 8 = 2

3) exprimer Vn en fonction de n, puis Un en fonction de n

          Vn = V0 x qⁿ  donc  Vn = 2 x (0.75)ⁿ

Vn = Un - 8  ⇔  Un = Vn + 8   d'où  Un = 2 x (0.75)ⁿ + 8

4) lim Un  = lim (2 x (0.75)ⁿ + 8)    or lim 2x(0.75)ⁿ = 0

   n→ + ∞     n→ + ∞                             n→ + ∞

donc  lim Un = 8

          n → + ∞

Explications étape par étape

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