Bonjour,
Nous allons démontrer par récurrence que
pour tout n entier supérieur ou égal à 4
[tex]2^n\geq n^2[/tex]
Etape 1 - vrai au rang 4
pour n = 4, cela donne
[tex]2^4=16\\\\4^2=16\\\\\text{Donc, nous avons bien }\\\\2^4\geq 4^2[/tex]
Etape 2 - Supposons que cela soit vrai au rang k avec k un entier supérieur ou égal à 4
Hypothèse de récurrence est [tex]2^k\geq k^2[/tex]
[tex]2^{k+1}=2^k\times 2\geq k^2\times 2[/tex] par hypothèse de récurrence
Et nous devons prouver que
[tex]2^{k+1}\geq (k+1)^2[/tex]
[tex]2k^2-(k+1)^2=2k^2-k^2-2k-1=k^2-2k-1\\\\=(k-1)^2-2\\\\\text{Or }k\geq 4<=>(k-1)\geq 3<=>(k-1)^2\geq 9=>(k-1)^2-2\geq 9-2\geq 0[/tex]
Donc nous avons
[tex]2^{k+1}=2^k\times 2\geq k^2\times 2\geq (k+1)^2[/tex]
Etape 3 - Conclusion
Nous venons donc de démontrer que pour tout n entier supérieur ou égal à 4
[tex]2^n\geq n^2[/tex]
Merci
