Bonjour,
1) Déterminer le nombre de diviseurs de n.
C'est une question classique, pusiqu'on dispose de la décompositionen facteurs premiers de n :
[tex]n=2^a3^b[/tex].
Chaque diviseur de n s'écrira donc sous la forme [tex]2^k3^l[/tex] avec [tex]0 \le k \le a[/tex] et [tex]0 \le l \le b[/tex].
Pour le choix de l'exposant k, il y a donc a+1 possibilités, et pour le choix de l, il y en a b+1; pour un total de (a+1)(b+1) possibilités.
Ainsi, n possède (a+1)(b+1) diviseurs.
Ex : Avec a=1 et b=2, [tex]n=2^13^2=18[/tex], dont les diviseurs sont :
[tex]2^03^0=1, \,2^03^1=3,\, 2^03^2=9, \,2^13^0=2, \, 2^13^1=6, \, \text{ et }2^13^2=18[/tex]
ce qui nous fait bien [tex](1+1)(2+1)=6[/tex] diviseurs.
2) Déterminer n, sachant que 12n a deux fois plus de diviseurs que n.
On fait comme précédemment, pour déteminer le nombre de diviseurs de 12n.
[tex]12n=12\times 2^a3^b=2^23\times 2^a3^b=2^{a+2}3^{b+1}[/tex]
ce qui nous fait donc, avec la méthode précédente, (a+3)(b+2) diviseurs.
Or, on sait que 12n a en fait 2(a+1)(b+1) diviseurs, donc :
[tex]2(a+1)(b+1)=(a+3)(b+2) \iff 2ab+2a+2b+2=ab+2a+3b+6\\\iff ab-b=4 \iff (a-1)b=4=2^2[/tex]
donc soit a=2 et b=4, soit a=3 et b=2, soit a=5 et b=1., càd n=324 ou n=72 ou n=96.
