Réponse:
On remarque que -1 est une racine evidente de x⁵+1
on peut donc factoriser le polynome de degré 5 par un polynome de degré 1 et un polynome de degré 4
de sorte que (x+1)(x⁴+ax³+bx²+cx+d) = x⁵+1
developpons :
(x+1)(x⁴+ax³+bx²+cx+d) =
x⁵+ ax⁴ + bx³ + cx² + dx + x⁴ + ax³ + bx² + cx + d =
x⁵ + (a+1)x⁴ + (a+b)x³ + (b+c)x² + (c+d)x + d
Par identification avec les termes de x⁵+1 on a
a+1=0
a+b = 0
b+c=0
c+d=0
d = 1
d'ou
a=-1
b=1
c=-1
d=1
AINSI
x⁵+1 = (x+1)(x⁴-x³+x²-x+1)
et
(x⁵+1)/(x+1) = x⁴-x³+x²-x+1
lim(x⁴-x³+x²-x+1) = 1+1+1+1+1 = 5
x→-1
On peut le verifier sur la representation graphique de f(x) = (x⁵+1)/(x+1)
