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résolu

Bonsoir à Tous. J'ai un DM à rendre, la question 1 est simple cependant je n'arrive pas à comprendre la question 2. Quelqu'un aurait-il la solution s'il-vous-plaît ?

Exercice 1 : Un problème célèbre...
Le jeu d'échec, qui se joue sur un plateau carré de 8 x 8 cases, a été créé en Inde. Le roi
auquel il fut proposé en fut si enthousiasmé que, dit la légende, il proposa à l'inventeur du
jeu de réaliser n'importe lequel de ses vœux ; l'inventeur émit une demande a priori
modeste : il demanda au roi de déposer un grain de blé sur la première case de l'échiquier,
puis deux sur la deuxième, quatre sur la troisième, huit sur la quatrième,... ainsi de suite en
doublant le nombre de grains de blé d'une case à la suivante.
1. Combien de grains de blé y aura-t-il sur la dernière case de l'échiquier ?
On donnera la valeur exacte V (éventuellement sous forme d'un calcul) puis le résultat
affiché par la calculatrice C. Expliquer pourquoi la calculatrice n'affiche pas la valeur
exacte.
Enfin, en donner un ordre de grandeur G (sous la forme a*10" avec a entier compris
entre 1 et 9 et n entier).
2. La production mondiale de blé en 2018 a été d'environ 750 millions de tonnes. D'autre
part un grain de blé pèse en moyenne environ 0,05 gramme.
En supposant que la production mondiale de blé reste stable dans les années à venir et
en utilisant G pour les calculs, calculer le temps nécessaire pour produire cette quantité
de blé.
​

Répondre :

TENURFGO

Bonjour,

1.

case 1: 1 grain

case 2 : 2 grains

case 3 : 4 grains

case p : [tex]2^{p-1}[/tex] grains

case 64 : [tex]2^{63}[/tex] grains

Donc

[tex]V= 2^{63}\\ \\C=9,22337203685478\times 10^{18} \\\\G=9\times 10^{18} \\\\[/tex]

La calculatrice n'affiche pas la valeur exacte car elle est trop grande et dépasse le nombre de chiffres significatifs de la calculatrice.

2.

production mondiale : 750 000 000 000 000 g par an

Ce qui fait

[tex]7,5\times 10^{14}[/tex] gr par an

Comme un grain pèse en moyenne 0,05 gramme, G grains représente

[tex]9\times 0.05 \times 10^{18}=45\times 10^{16}[/tex] grammes

il faudra donc

[tex]\dfrac{45\times 10^{16}}{7,5\times 10^{14}}=6\times 10^2=600[/tex]

600 années de production mondiale de blé pour produire uniquement la quantité de grains de la dernière case. Si on rajoute les 300 années pour la quantité de grain de la case d'avant et les 150 années de celle d'avant etc c'est impossible pour le roi de satisfaire la demande de l'inventeur.

Si on arrive à ces chiffres tellement grands c'est que l'on suit une évolution exponentielle, ici on double à chaque case.

Merci

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