Bonjour,
(a) il faut que la racine carrée soit définie donc
[tex]1-x^2\geq 0 <=> x^2\leq 1<=> |x|\leq 1[/tex]
et nous pouvons remarquer que, dans ce cas
[tex]0\leq 1-x^2\leq 1\\<=> \sqrt{1-x^2}\leq 1[/tex]
et Arccos est bien défini
Le domaine de définition est [-1.1]
(b) pour t dans cet interval
[tex]f(sin(t))=Arccos\sqrt{1-sin^2t}=Arrcos(\sqrt{cos^2t})=Arccos(cost)=t[/tex]
car cos(t) est positif sur cet intervalle.
De même
[tex]f(sin(-t))=Arccos\sqrt{1-sin^2(-t)}=Arccos\sqrt{1-sin^2t}=Arrcos(\sqrt{cos^2t})=Arccos(cost)=t[/tex]
Comme la fonction sinus est une bijection de [0;pi2] vers [0,1]
Pour x dans [0,1] il existe t dans [0,pi/2] tel que x = sin(t) et alors on applique le résultat précedent et f(x)=f(sin(t))=t=Arcsin(x)
Pour x dans [-1,0], -x est dans [0,1] il existe t dans [0,pi/2] tel que -x = sin(t)<=> x=-sin(t)=sin(-t) et f(x)=f(sin(-t))=t
Or sur cet interval x=sin(-t) <=> t = Arcsin(-x)
donc f(x)=Arcsin(-x) pour x dans [-1.0]
pour x positif |x| =x
pour x négatif |x|=-x
Donc pour x dans [-1.1] f(x)=Arcsin(|x|)
Merci
